Question

如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，且tan∠AHO=2．
（1）k的值；
（2）點(diǎn)N（a，1）是反比例y=

k

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使PM+PN最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)B為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且滿足S_△AMB=S_△AMH，請直接寫出滿足條件的B點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線解析式求A點(diǎn)坐標(biāo)，得OA的長度；根據(jù)三角函數(shù)定義可求OH的長度，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)M在直線上可求點(diǎn)M的坐標(biāo)．從而可求K的值；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式可求N點(diǎn)坐標(biāo)；作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N₁，連接MN1與x軸的交點(diǎn)就是滿足條件的P點(diǎn)位置．
（3）先求出S_△AMH的值，再分兩種情況求解①平移AM過點(diǎn)H，與反比例的交點(diǎn)為點(diǎn)B，設(shè)y=2x+b，②平移AM過點(diǎn)H′，與反比例的交點(diǎn)為點(diǎn)B，設(shè)y=2x+b，求解即可．

解答：解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．
∵tan∠AHO=2，
∴OH=1．
∵M(jìn)H⊥x軸，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1．
∵點(diǎn)M在直線y=2x+2上，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4．即M（1，4），
∵點(diǎn)M在y=

k

x

上，
∴k=1×4=4．
（2）存在．
如圖1，

過點(diǎn)N作N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N′，連接MN′，交x軸于P（如圖所示）．此時(shí)PM+PN最�。�
∵點(diǎn)N（a，1）在反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）上，
∴a=4．即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，1），
∵N與N′關(guān)于x軸的對稱，N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
∴N′的坐標(biāo)為（4，-1），
設(shè)直線MN′的解析式為y=kx+b．
由

4=k+b -1=4k+b

，解得

k=- 5 3 b= 17 3

∴直線MN′的解析式為y=-

5

3

x+

17

3

．
令y=0，得x=

17

5

．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

17

5

，0）．
（3）如圖，作MQ⊥y軸，

∵OA=2，HM=4，OH=1，
S_△AMH=S_梯形OAMH-S_△AQM=

1

2

（AO+MH）•OH-

1

2

AO•OH=

1

2

×5×1-

1

2

×2×1=

3

2

，
①平移AM過點(diǎn)H，與反比例的交點(diǎn)為點(diǎn)B，設(shè)y=2x+b，
∵H（1，0）在y=2x+b上，
∴0=2+b，解得b=-2，
∴平移后的直線解析式為：y=2x-2，
與雙曲線聯(lián)立得，

y=2x-2 y= 4 x

，解得

x=2 y=2

或

x=-1 y=-4

（舍去）
∴B（2，2），
②平移AM過點(diǎn)H′，與反比例的交點(diǎn)為點(diǎn)B，設(shè)y=2x+b，
H′是H關(guān)于A點(diǎn)的對稱點(diǎn)，
∵H（1，0），A（0，2），
∴H′（-1，4）
∵H′（-1，4）在y=2x+b上，
∴4=-2+b，解得b=6，
∴平移后的直線解析式為：y=2x+6與雙曲線聯(lián)立得

y=2x+6 y= 4 x

，解得

x= 17 -3 2 y= 17 +3

或

x= -3- 17 2 y=3- 17

（舍去）
∴B（

17 -3

2

，

17

+3），
綜上所述：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）或（

17 -3

2

，

17

+3）．

點(diǎn)評：本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及線路最短問題，解題的關(guān)鍵是分兩種情況利用直線平移求點(diǎn)B的坐標(biāo)．