Question

如圖，直線l與⊙O交于A，B兩點，且與半徑OC垂直，垂足為點D，連接AC，在線段OA的延長線上取一點E，使AE=AC，連接CE．已知OA=4，∠O=60°
（1）求線段AB的長；
（2）求證：CE是⊙O的切線；
（3）請指出圖中哪兩個圖形為位似圖形，并直接寫出它們的位似中心和位似比．

Answer 1

考點：切線的判定,位似變換,解直角三角形

專題：

分析：（1）由OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得AD=BD=

1

2

AB，然后在Rt△OAD中，OA=4，∠O=60°，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得AD的長，繼而求得線段AB的長；
（2）由OA=OC，∠O=60°，可得△OAC是等邊三角形，又由AE=AC，然后由等邊三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，求得∠OCA與∠ACE的度數(shù)，即可判定CE是⊙O的切線；
（3）易得△OAD∽△OEC，即可得：△OAD與△OEC為位似圖形，其中點O是位似中心，位似比為：

1

2

．

解答：解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD=BD=

1

2

AB，
∵在Rt△OAD中，OA=4，∠O=60°，
∴AD=OA•sin∠O=4×

3

2

=2

3

，
∴AB=2AD=4

3

；

（2）證明：∵OA=OC，∠O=60°，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵AE=AC，
∴∠E=∠ACE，
∵∠OAC=∠E+∠ACE，
∴∠ACE=30°，
∴∠OCE=∠OCA+∠ACE=90°，
即OC⊥CE，
∵點C在⊙O上，
∴CE是⊙O的切線；

（3）∵OC⊥AB，OC⊥CE，
∴AB∥CE，
∴△OAD∽OEC，
∵△OAC是等邊三角形，
∴OA=CE，
∵AE=CE，
∴OA=AE，
∴相似比為：

1

2

．
∵EA與CD交于點O，
∴△OAD與△OEC為位似圖形，其中點O是位似中心，位似比為：

1

2

．

點評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．