Question

【題目】如圖，是圓的直徑，，點是圓上一動點（與，不重合），的平分線交圓于．

判斷的形狀，并證明你的結論；

若是的內心，當點運動時，、中是否存在長度保持不變的線段？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)△ABD是等腰直角三角形，理由見解析；(2)的長度不變，且.

【解析】

（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ADB=90°，根據(jù)CD平分∠ACB可知，所以AD=BD，故可得出結論；

（2）先根據(jù)勾股定理求出BD的長，連接BI，則∠4=∠5，由（1）可知，所以∠1=∠2，再由三角形外角的性質可知∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，故可得出DI=BD是定值．

解:是等腰直角三角形．理由如下：

∵是圓的直徑，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（2）的長度不變，且

在中，

∵，，

∴，

連接，

∵是的內心，

∴，

∵由可知，

∴，

∵是的外角，

∴，

∴是定值，即．