【題目】定義:有兩條邊長的比值為的直角三角形叫“潛力三角形”.如圖,在△ABC中,∠B=90°,D是AB的中點,E是CD的中點,DF∥AE交BC于點F.
(1)設(shè)“潛力三角形”較短直角邊長為a,斜邊長為c,請你直接寫出的值為 ;
(2)若∠AED=∠DCB,求證:△BDF是“潛力三角形”;
(3)若△BDF是“潛力三角形”,且BF=1,求線段AC的長.
【答案】(1)2或;(2)證明見解析;(3)5或或或.
【解析】試題分析:(1)分兩種情況:①當(dāng)時,2;②設(shè)另一條直角邊長為b,當(dāng)時,b=2a,由勾股定理求出c=,得出;即可得出答案;
(2)延長AE交BC于G,由平行線的性質(zhì)得出∠AED=∠CDF,BF=GF,再由已知得出∠CDF=∠DCB,證出DF=CF,由平行線得出CG=GF,得出BF=GF=CG,因此DF=CF=2GF=2BF,得出,即可得出結(jié)論;
(3)分四種情況:①當(dāng)時;②當(dāng)時;③當(dāng)時;④當(dāng)時;求出BC=3,分別求出AB的長,由勾股定理求出AC即可.
試題解析:(1)分兩種情況:
①當(dāng)時,2;
②設(shè)另一條直角邊長為b,當(dāng)時,b=2a,
∵∠B=90°,
∴c=,
∴;
(2)證明:延長AE交BC于G,如圖所示:
∵DF∥AE,D是AB的中點,
∴∠AED=∠CDF,BF=GF,
∵∠AED=∠DCB,
∴∠CDF=∠DCB,
∴DF=CF,
∵DF∥AE,E是CD的中點,
∴CG=GF,
∴BF=GF=CG,
∴DF=CF=2GF=2BF,
∴,
又∵∠B=90°,
∴△BDF是“潛力三角形”;
(3)延長AE交BC于G,如圖所示.
分四種情況:
①當(dāng)時,
∵BF=1,
∴GF=CG=BF=1,BD=2,
∴AB=2BD=4,BC=3,
∴AC=;
②當(dāng)時,DF=2BF=2,
∴BD=
∴AB=2BD=2,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC=;
③當(dāng)時,BD=BF=,
∴AB=2BD=1,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC=;
④當(dāng)時,
設(shè)BD=x,則DF=2x,
由勾股定理得:(2x)2﹣x2=12,
解得:x=,
∴AB=2BD=,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC=;
綜上所述:若△BDF是“潛力三角形”,且BF=1,線段AC的長為5或或或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)(為常數(shù),且)的圖象都經(jīng)過點A(m,2).
(1)求點A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)一次函數(shù)的圖象與x軸交于點B,若點P是x軸上一點,且滿足△ABP的面積是2,直接寫出點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,BE∥AC,AE∥BD,OE與AB交于點F.
(1)試判斷四邊形AEBO的形狀,并說明理由;
(2)若OE=10,AC=16,求菱形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有甲、乙兩位同學(xué),根據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣(k+2)x+2=0”(k為實數(shù))這一已知條件,他們各自提出了一個問題考查對方,問題如下:
甲:你能不解方程判斷方程實數(shù)根的情況嗎?
乙:若方程有兩個不相等的正整數(shù)根,你知道整數(shù)k的值等于多少嗎?請你幫助兩人解決上述問題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對于任意一點,定義點的“離心值”為:時,例如對于點,因為,所以.
解決下列問題:
(1)已知,,,直接寫出的值,并將,,按從小到大的順序排列(用“<”連接);
(2)如圖,點,線段上的點,
①若,求點的坐標(biāo);
②在圖中畫出滿足的點組成的圖形,并用語言描述該圖形的特征;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校七年級舉行“數(shù)學(xué)計算能力”比賽,比賽結(jié)束后,隨機(jī)抽查部分學(xué)生的成績,根據(jù)抽查結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計圖表
組別 | 分?jǐn)?shù)x | 頻數(shù) |
A | 40≤x<50 | 20 |
B | 50≤x<60 | 30 |
C | 60≤x<70 | 50 |
D | 70≤x<80 | m |
E | 80≤x<90 | 40 |
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)共抽查了 名學(xué)生,統(tǒng)計圖表中,m= ,請補(bǔ)全直方圖;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中“B組”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)若七年級共有800名學(xué)生,分?jǐn)?shù)不低于60分為合格,請你估算本次比賽全年級合
格學(xué)生的人數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點都在網(wǎng)格點上,其中,C點坐標(biāo)為(1,2),
(1)寫出點A、B的坐標(biāo):A( , )、B( , )
(2)將△ABC先向左平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度,得到△A′B′C′,畫出△A′B′C′
(3)寫出三個頂點坐標(biāo)A′( 、 )、B′( 、 )、C′ 、 )
(4)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解學(xué)生課外閱讀情況,隨機(jī)抽查了50名學(xué)生,統(tǒng)計他們平均每天課外閱讀時間(t小時).根據(jù)t的長短分為A,B,C,D四類,下面是根據(jù)所抽查的人數(shù)繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.請根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:
(1)求表格中的a的值,并在圖中補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)該,F(xiàn)有1300名學(xué)生,請你估計該校共有多少名學(xué)生課外閱讀時間不少于1小時?50名學(xué)生平均每天課外閱讀時間統(tǒng)計表
類別 | 時間t(小時) | 人數(shù) |
A | t<0.5 | 10 |
B | 0.5≤t<1 | 20 |
C | 1≤t<1.5 | 15 |
D | t≥1.5 | a |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點D是邊BC上的一點,以AD為邊作等邊△ADE,過點C作CF∥DE交AB于點F.
(1)若點D是BC邊的中點(如圖①),求證:EF=CD;
(2)在(1)的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比;
(3)若點D是BC邊上的任意一點(除B、C外如圖②),那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,說明理由.
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