Question

如圖，類似于平面直角坐標系，我們現(xiàn)定義平面斜坐標系，∠xOy=60°，對于平面內任意一點M，過M點作兩條直線分別平行于x軸和y軸，與x軸、y軸相交的點所表示的數(shù)為a和b，則M點的斜坐標為（a，b）．
（1）若A點的斜坐標為（-2，2），試在該坐標系中作出點A，并求點A到點O的距離；
（2）在斜坐標系xOy中，已知點B（4，0），點C（0，3），P（x，y）是線段BC上的任意一點，試說明3x+4y是一個定值；
（3）若問題（2）中的點P在直線BC上，其他條件都不變，試判斷上述x，y之間的數(shù)量關系是否仍然成立；
（4）請在備用圖上畫出與方程2x-3y=6相對應的直線．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作AM∥y軸，AM與x軸交于點M，AN∥x軸，AN與y軸交于點N，構建菱形AMON，然后根據菱形的性質以及等邊三角形的判定與性質來求OA的長度；
（2）過點P分別作兩坐標軸的平行線，與x軸、y軸交于點M、N，則PN=x，PM=y；根據平行線截線段成比例分別列出關于x、y的比例式

PN

OB

=

CP

CB

，

PM

OC

=

BP

BC

，；再由線段間的和差關系求得PC+BP=BC，利用

x

4

+

y

3

=1求解；
（3）當點P在線段BC的延長線上時，上述結論仍然成立，證明過程同（2）．
（4）由x=0時，得y=-2，當y=0時，得x=3，畫圖即可．

解答：解：（1）如圖1，作AM∥y軸，AM與x軸交于點M，AN∥x軸，AN與y軸交于點N，

∵四邊形AMON為平行四邊形，且OM=ON，
∴AMON是菱形，OM=AM
∴OA平分∠MON，
又∵∠xOy=60°，
∴∠MOA=60°，
∴△MOA是等邊三角形，
∴OA=OM=2
（2）如圖2，過點P分別作兩坐標軸的平行線，與x軸、y軸交于點M、N，則 PN=x，PM=y，

由PN∥OB，得

PN

OB

=

CP

CB

，即

x

4

=

CP

CB

；
由PM∥OC，得

PM

OC

=

BP

BC

，即

y

3

=

BP

BC

；
∴

x

4

+

y

3

=

CP

CB

+

BP

BC

=1；即 3x+4y=12．
（3）如圖3，當點P在線段BC的延長線上時，上述結論仍然成立．

理由如下：這時 PN=-x，PM=y，
與（2）類似由PN∥OB，得

PN

OB

=

CP

CB

，即-

x

4

=

CP

CB

；
由PM∥OC，得

PM

OC

=

BP

BC

，即

y

3

=

BP

BC

；
又∵

BP

BC

-

CP

BC

=1，
∴

y

3

-

-x

4

=1，

x

4

+

y

3

=

CP

CB

+

BP

BC

=1；即 3x+4y=12．
（4）當x=0時，得-3y=6，解得y=-2，
當y=0時，2x=6，解得x=3，
則如圖4為2x-3y=6相對應的直線．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．解答本題時，是通過作輔助線構建平行四邊形（或菱形）解答問題的．