Question

在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點P為對角線BD的中點，過點P作∠MPN=30°將∠MPN，繞P點旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)∠MPN的兩邊分別交AB、AD于點E、F時，問△DFP是否相似，并證明你的結(jié)論．
（2）操作：將∠MPN繞P旋轉(zhuǎn)到圖2的情形時，角的兩邊分別交BA的延長線、邊AD于點E、F．
①探究1：△BPE與△DFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）
②探究2：連接EF，△BPE與△PFE是否相似？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明兩組角相等，就可以證明是相似三角形．
（2）根據(jù)對應(yīng)邊成比例，夾角相等的三角形互為相似三角形可進行證明．
解答：解：（1）相似．…（1分）
在△ABD中，∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADB+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
∵∠EPF=30°．∠BPE+∠EPF+∠DPF=180°，
∴∠BPE+∠DPF=150°，
∠BEP=∠DPF，
∴△BPE∽△DFP．

（2）①△BPE與△DFP仍相似；…．（7分）
②△BPE與△PFE相似．…（8分）
證明：由（1）得△BPE∽△DFP得，
而DP=BP，∴
又∵∠EBP=∠EPF，∴△BPE∽△PFE…（10分）
點評：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)．