精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點為M（2，1），且過點N（3，2）．
（1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若一次函數(shù)y=- $數(shù)學(xué)公式$ x-4的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，P為拋物線上的一個動點，過點P作PQ∥y軸交直線AB于點Q，以PQ為直徑作圓交直線AB于點D．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n，問：當(dāng)n為何值時，線段DQ的長取得最小值？最小值為多少？

解：（1）設(shè)這個二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x-2）²+1．
把x=3，y=2代入得a+1=2，解得a=1．
故這個二次函數(shù)的關(guān)系式為y=（x-2）²+1（或?qū)懗蓎=x²-4x+5）．

（2）由題意知P（n，n²-4n+5），Q（n，- $\text{[math]}$ n-4）．
∴PQ=n²-4n+5-（- $\text{[math]}$ n-4）=n²- $\text{[math]}$ n+9=（n- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ．
∴當(dāng)n= $\text{[math]}$ 時，PQ取得最小值為 $\text{[math]}$ ．
易證△DPQ∽△OAB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DQ= $\text{[math]}$ PQ．
∴當(dāng)n= $\text{[math]}$ 時，DQ取得最小值，為 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的頂點坐標(biāo)為M（2，1），則設(shè)函數(shù)的解析式是：y=a（x-2）²+1，把N的坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)的解析式；
（2）由題意知P（n，n²-4n+5），Q（n，- $\text{[math]}$ n-4）．根據(jù)兩點之間的距離公式得到當(dāng)n= $\text{[math]}$ 時，PQ取得最小值為 $\text{[math]}$ ．再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，兩點之間的距離公式，函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C（1，1），直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點坐標(biāo)為（

，

），B點在y軸上，直線與x軸的交點為F，P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于E點．
（1）求k，m的值及這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在點P，使得以點P、E、D為頂點的

三角形與△BOF相似？若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0）兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．
（1）求此二次函數(shù)的解析式，并寫出它的對稱軸；
（2）若直線l：y=kx（k＞0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），則是否存在這樣的直線l，使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若直線l′：y=m與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+b與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（3，4），點B在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于點E．
（1）求b的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若點D為直線AB與該二次函數(shù)的圖象對稱軸的交點，則四邊形DCEP能否構(gòu)成平行四邊形？如果能，請求出此時P點的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．
（4）以PE為直徑的圓能否與y軸相切？如果能，請求出點P的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點A（-1，0）和點C（0，-5）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)．
（2）在上面所求二次函數(shù)的對稱軸上存在一點P（2，-2），連接OP，找出x軸上所有點M的坐標(biāo)，使得△OPM是等腰三角形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•衡水一模）如圖，已知二次函數(shù)y=-

x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，-6）兩點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積；
（3）若拋物線的頂點為D，在y軸上是否存在一點P，使得△PAD的周長最��？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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