Question

如圖，已知AB=2，P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連接EF，設(shè)EF的中點為G，連接PG，則PG的最小值是

 

．

Answer 1

考點：梯形中位線定理,垂線段最短,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：當(dāng)P在AB中點時，PG的值最小，首先證明△EPF是等腰三角形，再證明GP是∠EPF的角平分線，從而可以說明GP⊥AB，根據(jù)垂線段最短可得PG的值最小．然后再利用勾股定理計算出GP的長度即可．

解答：解：當(dāng)P在AB中點時，PG的值最小，
∵△AEP和△PFB是等邊三角形，
∴∠FPB=∠EPA=60°，EP=AP，F(xiàn)P=PB，
∴∠EPF=60°，
∵P在AB中點，AB=2，
∴AP=BP=1，
∴EP=FP=1，
∴△EPF是等腰三角形，
∵EF的中點為G，
∴∠EPG=∠FPG=

1

2

∠EPF=30°，PG⊥EF，
∴∠GPB=90°，根據(jù)垂線段最短可得GP最小，
∴GF=

1

2

，
∴GP=

1- 1 4

=

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點評：此題主要考查了垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到P在AB中點時，PG的值最�。�