Question

求不定方程

1

x

+

1

y

=

1

30

的整數(shù)解中，使x+y最大以及最小的兩組解．

Answer 1

考點：非一次不定方程（組）

專題：

分析：利用已知條件將方程

1

x

+

1

y

=

1

30

變形，整理為（x-30）（y-30）=30²，分析兩數(shù)相乘所有的可能，找出符合題意的解，進(jìn)一步即可解答．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

=

1

30

，
去分母得：30（x+y）=xy，
∴（x-30）（y-30）=30²，
又∵x與y是正整數(shù)，
∴x-30，y-30都是整數(shù)，且都大于-30，
∵現(xiàn)在兩整數(shù)之積為30²，
∴這兩整數(shù)為同號，且至少有一個的絕對值不小于30，
∴x-30與y-30必都是30²的正約數(shù)，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

30

的正整數(shù)解（x，y）可寫成（30+d，30+

302

d

），這里d為30²的正約數(shù)，
∵30²的正約數(shù)有1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，20，25，30，36，45，50，60，75，90，100，150，180，225，300，450，900，
當(dāng)x=31時，y=930，
當(dāng)x=32時，y=480，
當(dāng)x=33時，y=330，
當(dāng)x=34時，y=255，
當(dāng)x=35時，y=210，
當(dāng)x=36時，y=180，
當(dāng)x=39時，y=130，
當(dāng)x=40時，y=120，
當(dāng)x=42時，y=105，
當(dāng)x=45時，y=90，
當(dāng)x=48時，y=80，
當(dāng)x=50時，y=75，
當(dāng)x=55時，y=66，
當(dāng)x=60時，y=60，
當(dāng)x=66時，y=55，
當(dāng)x=75時，y=50，
當(dāng)x=80時，y=48，
當(dāng)x=90時，y=45，
當(dāng)x=105時，y=42，
當(dāng)x=120時，y=40，
當(dāng)x=130時，y=39，
當(dāng)x=180時，y=36，
當(dāng)x=210時，y=35，
當(dāng)x=255時，y=34，
當(dāng)x=330時，y=33，
當(dāng)x=480時，y=32，
當(dāng)x=930時，y=31，
∴使x+y最大的方程的解是

x=31 y=930

或

x=930 y=31

，使x+y最小的方程的解是

x=60 y=60

．

點評：本題考查了非一次不定方程，解答本題的關(guān)鍵是將方程整理為整式方程后再進(jìn)行分析解決，在解這類方程組，要認(rèn)真分析題中各個方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解，難度較大．