Question

如圖，已知E是?ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，射線BE與AD交于點(diǎn)F，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．
（1）求證：BE是EF和EG的比例中項(xiàng)；
（2）若AF：FD=3：2，求

S△ABF

S△GBC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得△ABE∽△CGE，△AEF∽△CBE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得：BE：EG=AE：EC，AE：EC=EF：BE，繼而證得結(jié)論；
（2）易證得△ABF∽△CFB，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得

S△ABF

S△GBC

的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△CGE，△AEF∽△CBE，
∴BE：EG=AE：EC，AE：EC=EF：BE，
∴BE：EG=EF：BE，
∴BE²=EF•EG，
即BE是EF和EG的比例中項(xiàng)；

（2）解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AFB=∠CBG，∠ABF=∠G，
∴△ABF∽△CFB，
∵AF：FD=3：2，
∴AF：AD=3：5，
∵AD=BC，
∴AF：BC=3：5，
∴

S△ABF

S△GBC

=

9

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．