Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+2與x軸y軸分別相交于點A，B，四邊形ABCD是正方形，雙曲線y=

k

x

（x＞0）在第一象限經(jīng)過點D．
（1）求點D的坐標(biāo)及雙曲線的解析式；
（2）將正方形ABCD沿x軸向左平移多少個單位長度時，點C的對應(yīng)點恰好落在（1）中的雙曲線上？
（3）設(shè)（2）中C點對應(yīng)點為C′，設(shè)直線C′D的解析式為y₁，雙曲線的解析式為y₂，當(dāng)x＞0時，直接寫出當(dāng)y₂＞y₁時x的取值范圍．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先過點D作DE⊥x軸于點E，根據(jù)已知得出AO，BO的長度，進(jìn)而得出△AOB≌△DEA，求出D點坐標(biāo)，進(jìn)而得出解析式；
（2）首先過點C作CF⊥y軸，利用△AOB≌△DEA，同理可得出：△AOB≌△BFC，即可得出C點縱坐標(biāo)，如果點在圖象上，利用縱坐標(biāo)求出橫坐標(biāo)即可；
（3）由（2）可求得點C′的坐標(biāo)，即可求得直線C′D的圖象，然后由圖象即可求得答案．

解答：解：（1）過點D作DE⊥x軸于點E．
∵直線y=-2x+2與x軸，y軸相交于點A．B，
∴當(dāng)x=0時，y=2，即OB=2．
當(dāng)y=0時，x=1，即OA=1．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD．
∴∠BAO+∠DAE=90°．
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAO=∠ADE，
∵∠AOB=∠DEA=90°，
在△AOB和△DEA中，

∠AOB=∠DEA=90° ∠BAO=∠ADE AB=DA

，
∴△AOB≌△DEA（AAS），
∴DE=AO=1，AE=BO=2，
∴OE=3，DE=1．
∴點D的坐標(biāo)為（3，1）
把（3，1）代入y=

k

x

中，得k=3．
∴y=

3

x

；

（2）過點C作CF⊥y軸，
∵△AOB≌△DEA，
∴同理可得出：△AOB≌△BFC，
∴OB=CF=2，BF=OA=1，
∴點C的坐標(biāo)為：（2，3），
把y=3代入y=

3

x

，
∴x=1，
∴應(yīng)該將正方形ABCD沿X軸向左平移2-1=1個單位長度時，點C的對應(yīng)點恰好落在（1）中的雙曲線上．

（3）由（1）得：點C′的坐標(biāo)為：（1，3），D的坐標(biāo)為：（3，1），
∴當(dāng)x＞0時，直接寫出當(dāng)y₂＞y₁時x的取值范圍為：0＜x＜1或x＞3．

點評：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．