Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，∠B=60°，∠CAD=45°，AC=4

2

，求等腰梯形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：過(guò)D作DF垂直于BC，由AD與BC平行，且AE垂直于BC，得到AE=DF，利用HL得到直角三角形ABE與直角三角形DCF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=CF，再由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠CAD=∠ACE=45°，得到三角形AEC為等腰直角三角形，根據(jù)AC的長(zhǎng)求出AE與EC的長(zhǎng)，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BE的長(zhǎng)，由BE+EC求出BC的長(zhǎng)，由BC-2BE求出EF的長(zhǎng)，即為AD的長(zhǎng)，利用梯形面積公式即可求出梯形ABCD的面積．

解答：解：過(guò)D作DF⊥BC，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE=DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，

AE=DF AB=CD

，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=FC，即AD=EF=BC-2BE，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴△AEC為等腰直角三角形，
∵AC=4

2

，設(shè)AE=EC=x，
根據(jù)勾股定理得：x²+x²=（4

2

）²，
解得：x=4（負(fù)值舍去），
∴AE=EC=4，
在Rt△ABE中，AE=4，∠B=60°，
∴BE=

AE

tan60°

=

4 3

3

，
∴BC=BE+EC=

4 3

3

+4，AD=

4 3

3

+4-2×

4 3

3

=4-

4 3

3

，
則S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AE=2（4-

4 3

3

+

4 3

3

+4）=16．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．