Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0，b＜0）的圖象與x軸、y軸都只有一個公共點，分別為A，B，且AB=2，b+2ac=0．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若一次函數(shù)y=x+k的圖象過點A，并和二次函數(shù)的圖象相交于另一點C，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）利用函數(shù)圖象得出b²-4ac=0，進而由b+2ac=0求出ac的值，進而利用AB=2求出即可；
（2）利用兩函數(shù)交點坐標求法得出C點坐標，進而求出三角形面積．

解答：解：（1）∵拋物線與X軸只有一個公共點，
∴b²-4ac=0，
而b+2ac=0，
∴b²+2b=0，∴b=-2，b=0（舍去），
∴ac=1
∵拋物線的對稱軸是x=-

b

2a

，
∵b+2ac=0，
∴b=-2ac，
∴x=c，即A（c，0）
∵B（0，c），∴AB=

2

c=2，∴c=

2

，∴a=

2

2

∴二次函數(shù)的解析式為：y=

2

2

x²-2x+

2

；

（2）∵y=x+k過點A（

2

，0），
∴y=x-

2

，
則x-

2

=

2

2

x²-2x+

2

，
解得：x₁=2

2

，x₂=

2

（舍去），
當x=2

2

，y=

2

，
則C點坐標為：（2

2

，

2

），
S_△ABC=

1

2

×BC×y_C=

1

2

×2

2

×

2

=2．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸交點以及三角形面積求法，得出C點坐標是解題關鍵．