Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)、在雙曲線上，軸于，軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

（2）若的面積為，求該雙曲線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）．

【解析】

（1）連接AD、CD、BC；AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，則AC⊥BD；設(shè)A（m，n），則mn=k，P（m，n），再確定B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而說明PD=PB，AP=PC， 即可判定四邊形ABCD為菱形；

（2）由△ABP的面積為3，知BPAP=6.由反比例函數(shù)中k的幾何意義，知本題k=OCAC，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)以及P是AC的中點(diǎn)的條件，得出OC=BP，AC=2AP，從而完成解答．

解:(1) 四邊形ABCD為菱形,理由如下:

如圖:連接AD、CD、BC；AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，

∴AC⊥BD；

設(shè)A（m，n），則mn=k，P（m，n），

B點(diǎn)縱坐標(biāo)為n，橫坐標(biāo)為 ，

∴PD=PB，

又∵AP=PC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵△ABP的面積為·BP·AP=3，

∴BP·AP=6，

∵P是AC的中點(diǎn)，

∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是B點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，

又∵點(diǎn)A、B都在雙曲線上，

∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，

∴OC=DP=BP，

∴|k| =OC·AC=BP·2AP=12.

又∵該函數(shù)圖像在第二象限

∴k=-12

∴該雙曲線的解析式是：.