Question

如果n是正整數(shù)，那么

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值（　�。�

• A、一定是零
• B、一定是偶數(shù)
• C、是整數(shù)但不一定是偶數(shù)
• D、不一定是整數(shù)

Answer 1

分析：因為n是正整數(shù)，即n可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)．因此要分n為奇數(shù)，n為偶數(shù)情況討論．

解答：解：當n為奇數(shù)時，（-1）ⁿ=-1，1-（-1）ⁿ=2，
設不妨n=2k+1（k取自然數(shù)），
則n²-1=（2k+1）²-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=4k（k+1），
∴k與（k+1）必有一個是偶數(shù)，
∴n²-1是8的倍數(shù)．
所以

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）=

1

8

×2×8的倍數(shù)，
即此時

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是偶數(shù)；
當n為偶數(shù)時，（-1）ⁿ=1，1-（-1）ⁿ=0，
所以

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）=0，
此時

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是0，也是偶數(shù)．
綜上所述，如果n是正整數(shù)，

1

8

[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是偶數(shù)．
故選B．

點評：解題關鍵是掌握負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)；-1的奇數(shù)次冪是-1，-1的偶數(shù)次冪是1．偶數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)，偶數(shù)與奇數(shù)的積是偶數(shù)，奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)．