Question

如圖，在邊長為1的正方形中，分別以四個頂點為圓心，作半徑為1的圓弧，則圖中陰影部分的面積是

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：計算題

分析：圖中陰影部分可分為四個相同的弓形和一個小正方形，先求出弓形AB的面積過A點作邊長為1的正方形的一邊的垂線，垂足為Q，作AH⊥OB于H，由OQ=

1

2

，OA=1則∠OAQ=30°，根據直線平行內錯角相等得到∠1=30°，同理可得∠2=30°，得到∠AOB=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到AH=

1

2

OA=

1

2

，OH=

3

AH=

3

2

，再根據三角形面積公式和扇形的面積公式可計算出S_△OAB=

1

4

，S_扇形OAB=

π

12

，則S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=

π

12

-

1

4

，然后根據勾股定理計算出AB²=BH²+AH²=（1-

3

2

）²+（

1

2

）²=2-

3

，則可得到S_{正方形ABCD}=2-

3

，最后利用圖中陰影部分的面積=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}進行計算即可．

解答：解：圖中陰影部分可分為四個相同的弓形和正方形ABCD，如圖，
如圖，過A點作邊長為1的正方形的一邊的垂線，垂足為Q，作AH⊥OB于H，
∵OQ=

1

2

，OA=1，
∴∠OAQ=30°，
∴∠1=30°，
同理可得∠2=30°，
∴∠AOB=30°，
∴AH=

1

2

OA=

1

2

，OH=

3

AH=

3

2

，
∴S_△OAB=

1

2

×AH×OB=

1

4

，S_扇形OAB=

30•π•12

360

=

π

12

，
∴S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=

π

12

-

1

4

，
在Rt△ABH中，BH=OB-OH=1-

3

2

，AH=

1

2

，
∴AB²=BH²+AH²=（1-

3

2

）²+（

1

2

）²=2-

3

，
∴S_{正方形ABCD}=2-

3

，
∴圖中陰影部分的面積=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}=4×（

π

12

-

1

4

）+2-

3

=1-

3

+

π

3

．
故答案為1-

3

+

π

3

．

點評：本題考查了面積及等積變換：把不規(guī)則的幾何圖形的面積計算問題轉化為規(guī)則幾何圖形的面積的和或差；掌握扇形的面積公式以及含30°的直角三角形三邊的關系．