Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點(diǎn)P以2個單位/秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿對角線AC向C移動，同時動點(diǎn)Q以1個單位/秒的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動，當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，它們都停止移動．設(shè)移動的時間為t秒．
（1）求△CPQ的面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，求出t的值；
（3）在P、Q移動的過程中，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得PF的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（2）分類討論，外切，內(nèi)切，
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PF、FC的長，根據(jù)勾股定理，可得PQ的長，根據(jù)相切時PQ的兩種表達(dá)方式，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論：PC=QC，PQ=QC，PQ=PC，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：在矩形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
則AC=10，
由題意得：AP=2t，CP=10-2t，CQ=t，
（1）
過點(diǎn)P作PF⊥BC于F，
可得△CPF∽△CAB，
∴

PF

AB

=

CP

CA

，即

PF

6

=

10-2t

10

，
∴PF=6-

6

5

t，
∴S=

1

2

×QC×PF=-

3

5

t²+3t（0≤t≤5）．

（2）∵△PCF∽△ACB，
∴

PF

AB

=

PC

AC

=

FC

BC

，
即

PF

6

=

10-2t

10

=

FC

8

，
∴PF=6-

6

5

t，
FC=8-

8

5

t，
則在Rt△PFQ中，
PQ²=PF²+FQ²=（6-

6

5

t）²+（8-

8

5

t-t）²=

41

5

t2-56t+100．
①當(dāng)⊙P與⊙Q外切時，有PQ=PA+QC=3t，
此時PQ²=

41

5

t2-56t+100=9t²，
整理得：t²+70t-125=0，
解得t₁=15

6

-35，t₂=-15

6

-35（舍去）．
②當(dāng)⊙P與⊙Q內(nèi)切時，有PQ=PA-QC=t，
此時PQ²=

41

5

t2-56t+100=t²，整理得：
9t²-70t+125=0，
解得t₁=

25

9

，t₂=5．
綜上所述：⊙P與⊙Q相切時t=

25

9

或t=5或t=15

6

-35；

（3）10-2t=t，
t=

10

3

秒（此時PC=QC），

41

5

t2-56t+100=t²
t=

25

9

秒（此時PQ=QC），

41

5

t2-56t+100=（10-2t）²
t=

80

21

秒（此時PQ=PC）△CPQ為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了相似形綜合題，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，兩圓相切的關(guān)系，解一元二次方程，分類討論是解題關(guān)鍵，題目有難度，注意要把不符合題意的解舍去．