【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC， P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N.

（1）求證：∠ADB=∠CDB；

(2)若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．

證明：(1)∵對(duì)角線BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中

AB=CB

∠ABD=∠CBD

BD=BD

∴△ABD≌△CBD(SAS)

∴∠ADB=∠CDB

(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD=∠PND=90，

∵∠ADC=90°，

∴四邊形MPND是矩形，

∵∠ADB=∠CDB，

∴∠ADB=45°,

∴PM=MD，

∴四邊形MPND是正方形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知∠1＋∠2﹦180°,∠3﹦∠B，則DE∥BC，下面是王華同學(xué)的推導(dǎo)過(guò)程﹐請(qǐng)你幫他在括號(hào)內(nèi)填上推導(dǎo)依據(jù)或內(nèi)容．

證明：

∵∠1＋∠2﹦180（已知），

∠1﹦∠4 （_________________），

∴∠2﹢_____﹦180°.

∴EH∥AB（___________________________________）．

∴∠B﹦∠EHC（________________________________）．

∵∠3﹦∠B（已知）

∴ ∠3﹦∠EHC（____________________）．

∴ DE∥BC（__________________________________）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖：(1)當(dāng)線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，線段與它的投影的大小關(guān)系為AB

___A1B1；

(2)當(dāng)線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，線段與它的投影的大小關(guān)系為AB___A2B2；

(3)當(dāng)線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是______.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】把一張對(duì)面互相平行的紙條折成如圖所示那樣，EF是折痕，若∠EFB=32°則下列結(jié)論正確的有( )

(1)∠C′EF=32°(2)∠AEC=116°(3)∠BGE=64°(4)∠BFD=116°．

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在8×8的正方形網(wǎng)格中，有一個(gè)Rt△AOB，點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)，點(diǎn)O、A、B分別在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)按照下面要求在所給的網(wǎng)格中畫(huà)圖．

（1）在圖1中，將△AOB先向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到△A1O1B1，畫(huà)出平移后的△A1O1B1；（其中點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1，O1，B1）

（2）在圖2中，△AOB與△A2O2B2是關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的圖形，畫(huà)出△A2O2B2，連接BA2，并直接寫(xiě)出tan∠A2BO的值．（其中A，O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A2，O2，B2）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】眾所周知，水的污染越來(lái)越嚴(yán)重，日益影響著人類的身心健康，而人們的安全飲水意識(shí)仍有待提高．已知某品牌型號(hào)Ⅰ凈水器的市場(chǎng)售價(jià)為2000元/臺(tái)，型號(hào)Ⅱ凈水器的市場(chǎng)售價(jià)為1800元/臺(tái)．為了保護(hù)我區(qū)市民的安全飲水，推動(dòng)北碚區(qū)創(chuàng)建國(guó)家級(jí)衛(wèi)生區(qū)復(fù)審工作，啟動(dòng)了“安全飲水北碚行”活動(dòng)，此兩種型號(hào)的凈水器可獲得13%的財(cái)政補(bǔ)貼．

(1)某商場(chǎng)在啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月共售出此兩種凈水器960臺(tái)，啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月型號(hào)Ⅰ和型號(hào)Ⅱ凈水器的銷(xiāo)量分別比上月增長(zhǎng)30%、25%，這個(gè)月這兩種凈水器共售出1228臺(tái)．啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月此兩種型號(hào)的凈水器銷(xiāo)量各為多少臺(tái)？

(2)在啟動(dòng)活動(dòng)前區(qū)政府打算用25000元為天府鎮(zhèn)敬老院購(gòu)買(mǎi)該兩種型號(hào)的凈水器，并計(jì)劃恰好全部用完此款．

①原計(jì)劃所購(gòu)買(mǎi)的型號(hào)Ⅰ和型號(hào)Ⅱ凈水器各多少臺(tái)？

②活動(dòng)啟動(dòng)后，在不增加區(qū)政府實(shí)際負(fù)擔(dān)的情況下，能否多購(gòu)買(mǎi)兩臺(tái)型號(hào)Ⅱ凈水器？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，

（1）請(qǐng)寫(xiě)出△ABC各點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求出△ABC的面積.

（3）若把△ABC向上平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得△A′B′C′，在圖中畫(huà)出△ABC變化位置。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC，CD于點(diǎn)M、N．

（1）如圖①，當(dāng)M、N分別在邊BC，CD上時(shí)，作AE垂直于AN，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：△ABE≌△ADN；

（2）如圖②，當(dāng)M、N分別在邊CB，DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：MN+BM=DN；

（3）如圖③，當(dāng)M、N分別在邊CB，DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點(diǎn)，若MN=10，CM=8，求AP的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B（8，6），直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A交BC于D、交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，直線OP交AB于點(diǎn)E

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線OP的解析式；

（2）求△ODP的面積，并在直線AD上找一點(diǎn)N，使△AEN的面積等于△ODP的面積，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)

（3）在x軸上有一點(diǎn)T（t，0）（5＜t＜8），過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線，分別交直線OE、AD于點(diǎn)F、G，在線段AE上是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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