【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O交BC于點D,過點D作AC的垂線交AC于點E,交AB的延長線于點F.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)若CD=BF,AE=3,求DF的長.
【答案】(1)見解析;(2)DF=2.
【解析】
(1)連接OD,求出AC∥OD,求出OD⊥DE,根據(jù)切線的判定得出即可;
(2)求出∠1=∠2=∠F=30°,求出AD=DF,解直角三角形求出AD,即可求出答案.
(1)證明:連接OD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵OA=OD,
∴∠2=∠ADO,
∴∠1=∠ADO,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴∠ODF=∠AED=90°,
∴OD⊥ED,
∵OD過O,
∴DE與⊙O相切;
(2)解:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠1=∠2,CD=BD,
∵CD=BF,
∴BF=BD,
∴∠3=∠F,
∴∠4=∠3+∠F=2∠3,
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠4=2∠3,
∵∠ODF=90°,
∴∠3=∠F=30°,∠4=∠ODB=60°,
∵∠ADB=90°,
∴∠2=∠1=30°,
∴∠2=∠F,
∴DF=AD,
∵∠1=30°,∠AED=90°,
∴AD=2ED,
∵AE2+DE2=AD2,AE=3,
∴AD=2,
∴DF=2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一只不透明的袋子中裝有個質(zhì)地、大小均相同的小球,這些小球分別標(biāo)有數(shù)字,甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出個球,并計算摸出的這個小球上數(shù)字之和,記錄后都將小球放回袋中攪勻,進行重復(fù)實驗.實驗數(shù)據(jù)如下表
摸球總次數(shù) | ||||||||||
“和為”出現(xiàn)的頻數(shù) | ||||||||||
“和為”出現(xiàn)的頻率 |
解答下列問題:
如果實驗繼續(xù)進行下去,根據(jù)上表數(shù)據(jù),出現(xiàn)“和為”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近.估計出現(xiàn)“和為”的概率是_______;
如果摸出的這兩個小球上數(shù)字之和為的概率是,那么的值可以取嗎?請用列表法或畫樹狀圖法說明理由;如果的值不可以取,請寫出一個符合要求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)分別交y軸、x 軸于A、B兩點,拋物線過A、B兩點。(1)求這個拋物線的解析式;(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N。求當(dāng)t 取何值時,MN有最大值?最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O(AB>AC),AD⊥BC于點D,BE⊥AC于點E,AD、AE交于點F.
(1)如圖1,若⊙O直徑為10,AC=8,求BF的長;
(2)如圖2,連接OA,若OA=FA,AC=BF,求∠OAD的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+mx的對稱軸為直線x=2,若關(guān)于x的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t為實數(shù))在l<x<3的范圍內(nèi)有解,則t的取值范圍是( )
A.-5<t≤4 B.3<t≤4 C.-5<t<3 D.t>-5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,將△AOB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△A′O′B,且反比例函數(shù)y=的圖象恰好經(jīng)過斜邊A′B的中點C,若SABO=4,tan∠BAO=2,則k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角些標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0),C(2,0),與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點D.
(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點的坐標(biāo);
(2)若P為y軸上的一個動點,連接PD,求PB+PD的最小值;
(3)M(x,t)為拋物線對稱軸上一個動點,若平面內(nèi)存在點N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形,則這樣的點N共有 個.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角△ABC中,∠A=60°,∠ACB=45°,以BC為弦作⊙O,交AC于點D,OD與BC交于點E,若AB與⊙O相切,則下列結(jié)論:
①∠BOD=90°;②DO∥AB;③CD=AD;④△BDE∽△BCD;⑤
正確的有( )
A. ①② B. ①④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A是我市某小學(xué),在位于學(xué)校南偏西15°方向距離120米的C點處有一消防車.某一時刻消防車突然接到報警電話,告知在位于C點北偏東75°方向的F點處突發(fā)火災(zāi),消防隊必須立即沿路線CF趕往救火.已知消防車的警報聲傳播半徑為110米,問消防車的警報聲對學(xué)校是否會造成影響?若會造成影響,已知消防車行駛的速度為每小時60千米,則對學(xué)校的影響時間為幾秒?(≈3.6,結(jié)果精確到1秒)
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