Question

【題目】拋物線y=（x﹣3）（x+1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）連結(jié)BD，CD，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E．

①若線段BD上一點(diǎn)P，使∠DCP=∠BDE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②若拋物線上一點(diǎn)M，作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，使∠CMN=∠BDE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣4）；（2）點(diǎn)M坐標(biāo)為（，﹣）或（5，12）．

【解析】試題分析：（1）解方程求出或 拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），確定點(diǎn)的坐標(biāo)為 將配方，寫(xiě)成頂點(diǎn)式為即可確定頂點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)拋物線得到點(diǎn)C、點(diǎn)E的坐標(biāo)．連接BC，過(guò)點(diǎn)C作于H，由勾股定理得出證明為直角三角形．

分別延長(zhǎng)與軸相交于點(diǎn) 根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明 得出運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CQ的解析式為y=-直線BD的解析式為解方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)．若點(diǎn)N在射線CD上，如備用圖1，延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)G，先證明由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出．設(shè)，再證明均為等腰直角三角形，然后用含的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，將其代入拋物線求出的值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；若點(diǎn)N在射線DC上，同理可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)．由于得到 根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出 而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有 所以點(diǎn)M不存在．

試題解析：

（1）∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），

∴當(dāng)時(shí)，

解得或

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（2）①如右圖．

∵拋物線與與y軸交于點(diǎn)C，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為

∵對(duì)稱(chēng)軸為直線

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為

連接BC，過(guò)點(diǎn)C作于H，則H點(diǎn)坐標(biāo)為

為直角三角形．

分別延長(zhǎng)與軸相交于點(diǎn)

即

∴直線CQ的解析式為

直線BD的解析式為

由方程組 解得 ．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

②（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)．

若點(diǎn)在射線上，如備用圖1，延長(zhǎng)MN交軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)．

設(shè) 則

均為等腰直角三角形，

代入拋物線解得

若點(diǎn)N在射線DC上，如備用圖2，MN交y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)G．

設(shè) 則

均為等腰直角三角形，

代入拋物線解得

代入拋物線，解得

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)．

而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有

∴點(diǎn)M不存在．

綜上可知，點(diǎn)M坐標(biāo)為或