Question

（本題滿分12分）

【問題背景】

已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行線l1與l2、l2與l3、l3與l4之間的距離分別為d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3、l4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．

【問題探究】

（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_ _．

（2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長(zhǎng)：寬=2：1，求矩形ABCD的寬．

【問題拓展】

（3）如圖1，EG過正方形ABCD的頂點(diǎn)D且垂直l1于點(diǎn)E，分別交l2，l4于點(diǎn)F，G．將∠AEG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到∠AE′D′（如圖2），點(diǎn)D′在直線l3上，以AD′為邊在E′D′左側(cè)作菱形AB′C′D′，使B′，C′分別在直線l2，l4上，求菱形AB′C′D′的邊長(zhǎng)．

Answer 1

（1）；（2）或；（3）．

【解析】

試題分析：（1）證明∴△AED≌△DGC，得出CG=ED=3，AE=DG=1，由勾股定理得到正方形的邊長(zhǎng)AD；

（2）過B作BE⊥l1于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)BE交l4于點(diǎn)F，則BE=1，BF=3，可以證明△AEB∽△BFC，分AB是較短的邊和AB是長(zhǎng)邊兩種情況討論；

（3）過點(diǎn)E作ON垂直于l1分別交l1，l3于點(diǎn)O，N，由題意得∠OAE=30°，則∠ED′N=60°，由圖1知，△AED≌△DGC，得到AE=DG=1，進(jìn)一步得到EO，EN，ED′的長(zhǎng)，由勾股定理可求出菱形的邊長(zhǎng)．

試題解析：（1）∵ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠CDG=90°，∵∠AED=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠CDG，∵∠AED=∠DGC=90°，∴△AED≌△DGC，∴CG=ED=3，AE=DG=1，∴AD=，∴正方形的邊長(zhǎng)是；

（2）過B作BE⊥l1于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)BE交l4于點(diǎn)F，則BE=1，BF=3，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠FBC=∠EAB，∴△AEB∽△BFC，當(dāng)AB是較短的邊時(shí)，如圖（a），AB=BC，則AE=BF=，在直角△ABE中，AB==；

當(dāng)AB是長(zhǎng)邊時(shí)，如圖（b），同理可得：BC=；故答案為：或；

（3）過點(diǎn)E作ON垂直于l1分別交l1，l3于點(diǎn)O，N，由題意得∠OAE=30°，則∠ED′N=60°，由圖1知，△AED≌△DGC，∴AE=DG=1，故EO=，EN=，ED′=，由勾股定理可知菱形的邊長(zhǎng)為：===．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．