Question

已知點A（a，b）為雙曲線y=

6

x

（x＞0）圖象上一點．
（1）如圖1所示，過點A作AD⊥y軸于D點，點P是x軸任意一點，連接AP．求△APD的面積．
（2）以A（a，b）為直角頂點作等腰Rt△ABC，如圖2所示，其中點B在點C的左側，若B點的坐標為B（-1，0），且a、b都為整數(shù)時，試求線段BC的長．
（3）在（2）中，當?shù)妊黂t△ABC的直角頂點A（a，b）在雙曲線上移動時，B、C兩點也隨著移動，試用含a，b的式子表示C點坐標；并證明在移動過程中OC²-OB²的值恒為定值．

Answer 1

分析：（1）由點A（a，b）在反比例函數(shù)y=

6

x

上可得到ab=6，AD=a，OD=b，進而根據(jù)三角形的面積公式求出△APD的面積；
（2）過A作AE垂直x軸于E點，可得：E（a，0），由∠ABE=45°可得△ABE為等腰直角三角形，根據(jù)AE=BE，求出a和b的值，進而求出BC的長；
（3）分類討論B點在y軸的左側還是在y軸的右側，求出C點的坐標，可得OC的長，再用a和b表示出OB的長，兩式相減，觀察得到的結果是否為定值．

解答：解：（1）由點A（a，b）在反比例函數(shù)y=

6

x

上可得：
ab=6，AD=a，OD=b，
所以S△ABC=

1

2

AD•OD=

1

2

ab=3，

（2）過A作AE垂直x軸于E點，可得：E（a，0），
則由∠ABE=45°可得△ABE為等腰直角三角形，
∴AE=BE，
E在B右側且B坐標為（-1，0），
∴BE=a-（-1）=a+1，則a+1=b，
又∵ab=6且a、b都為整數(shù)．
∴a只能取2，b為3，
此時，BE=AE=CE=b=3，
∴BC=BE+CE=6，

（3）由（2）可知：EC=AE=BE=b；且不管點A如何移動，總有：OC=OE+EC=a+b，且C總在x軸正半軸，
∴C（a+b，0），
當B在y軸左側時，如圖2所示，則a＜b，
OB=BE-OE=b-a．
（a+b）²-（b-a）²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab=4×6=24，
∴OC²-OB²=24，
當B在y軸右側或與原點重合時，
如圖4所示，則a≥b，
∴OB=OE-BE=a-b，
∴OC²-OB²=（a+b）²-（a-b）²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab=4×6=24綜上所述：移動過程中OC²-OB²的值恒為24．

點評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質以及等腰三角形等知識，此題考查了分類討論的解題思路，此題難度有點大．