Question

如圖，等邊三角形ABC中，M是BC上一點，CF平分∠ACE，且∠AMF=60°．
求證：（1）∠BAM=∠CMF；（2）AM=MF．

Answer 1

證明：（1）在等邊三角形ABC中，∠B=60°，
∵∠AMC=∠BAM+∠B，
∴∠BAM+∠B=∠AMF+∠CMF，
∵∠AMF=60°，
∴∠BAM=∠CMF；

（2）過點M作MD∥AC交AB于D，

∴∠BMD=∠ACB，
在等邊三角形ABC中，
AB=CB，∠B=∠ACB=60°，
∵∠BMD=60°，
∴∠BDM=60°，
∴△BDM為等邊三角形，
∴BD=BM，
∴AD=CM，∠ADM=120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=60°，
∴∠MCF=120°，
在△ADM與△MCF中，，
∴△ADM≌△MCF（ASA），
∴AM=MF．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形各內(nèi)角為60°和外角的性質(zhì)即可求得∠BAM=∠CMF；
（2）過點M作MD∥AC交AB于D，則∠BMD=∠ACB，即可判定△BDM為等邊三角形，進而求證△ADM≌△MCF，可得AM=MF．
點評：本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中求證△ADM≌△MCF是解題的關(guān)鍵．