Question

如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連結(jié)AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．

(1)求拋物線的解析式及頂點B的坐標(biāo)；

(2)求證：CB是△ABE外接圓的切線；

(3)試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(4)設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度(0＜t≤3)時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．

 

 

Answer 1

（1）y=－x2＋2x＋3．B(1，4)．（2）證明見解析；（3）P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．（4）s=.

【解析】

試題分析：(1)利用兩根式列出二次函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x－3)(x＋1)，把將E(0，3)代入即可求出a的值，繼而可求頂點B的坐標(biāo)；

（2）過點B作BM⊥y于點M，利用已知條件先證明AB是△ABE外接圓的直徑．再證CB⊥AB即可．

（3）存在；

（4）分兩種情況進行討論即可.

試題解析：(1)【解析】
由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a(x－3)(x＋1)．

將E(0，3)代入上式，解得：a=－1．

∴y=－x2＋2x＋3．

則點B(1，4)．

(2)如圖，證明：過點B作BM⊥y于點M，則M(0，4)．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE==3．

在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．

∴∠BEA=180°－∠1－∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圓的直徑．

在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，

∴∠CBE＋∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圓的切線．

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．

(4)【解析】
設(shè)直線AB的解析式為y=kx＋b．

將A(3，0)，B(1，4)代入，得解得

∴y=－2x＋6．

過點E作射線EF∥x軸交AB于點F，當(dāng)y=3時，得x=，

∴F(，3)．

情況一：如圖7，當(dāng)0＜t≤時，設(shè)△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于點H，MN交AE于點G．

則ON=AD=t，過點H作LK⊥x軸于點K，交EF于點L．

由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK=2t．

∴S陰=S△MND－S△GNA－S△HAD=×3×3－(3－t)2－t·2t=－t2＋3t．

情況二：如圖8，當(dāng)＜t≤3時，設(shè)△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點I，交AE于點V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ=2(3－t)．

∴S陰=S△IQA－S△VQA=×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2=(3－t)2=t2－3t＋．

綜上所述：s=.

考點：二次函數(shù)綜合題.