【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3的圖象分別交x軸于A點(diǎn),交y軸于B點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn),并與x軸交于另一點(diǎn)D,頂點(diǎn)為C.
(1)求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求tan∠BAC;
(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以P、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)D(﹣1,0)(2)(3)存在P(0,0),(0,﹣)
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)直線y=-x+3求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數(shù)的值;根據(jù)拋物線的解析式可求出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,則BE=4﹣3=1,CE=1,然后解直角三角形得到∠BAC的正切值;
(3)根據(jù)三角形相似的性質(zhì)和判定,分情況討論:當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí),當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),求解即可.
試題解析:(1)把y=0代入得x=3,∴A(3,0),把x=0代入得y=3,∴B(0,3),
把A(3,0),B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c, ,解得:b=2,c=3,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴C(1,4),
把y=0代入y=﹣x2+2x+3,解得:x1=﹣1,x2=3,∴D(﹣1,0);
(2)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,則BE=4﹣3=1,CE=1,
∴BC=,∠EBC=∠ECB=45°,又∵OB=OA=3,∴AB=3,∠OBA=∠OAB=45°,
∴∠CBA=180°﹣45°﹣45°=90°,又∵BC=,AB=3∴tan∠BAC==;
(3)存在P(0,0),(0,﹣),當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí),∠BPD=90°,=,
∴=,∠BPD=∠ABC則△BPD∽△ABC;在Rt△ABC中,BC=,AB=3,∴AC=2,在Rt△BOD中,OD=1,OB=3,∴BD=,當(dāng)PD⊥BD時(shí),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,y),
當(dāng)△BDP∽△ABC時(shí), ,即,解得y=﹣,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,﹣),
∴當(dāng)P的坐標(biāo)為(0,0)或(0,﹣)時(shí),以P、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
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【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b﹣x的圖象與x軸的正半軸相交,且函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,則k,b的取值情況為( )
A.k>1,b<0
B.k>1,b>0
C.k>0,b>0
D.k>0,b<0
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(3,2)在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
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【題目】某次知識(shí)競(jìng)賽共出了25道題,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下:答對(duì)1題加4分;答錯(cuò)1題扣1分;不答記0分.已知小明不答的題比答錯(cuò)的題多2道,他的總分為74分,則他至少答對(duì)了_________題.
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【題目】已知△ABC∽△DEF,若△ABC與△DEF的相似比為2:3,△ABC的面積為40,則△DEF的面積為( 。
A.60B.70C.80D.90
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4,D為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以BD為邊在△ABC外作等邊三角形BDE。若F為DE的中點(diǎn),則CF的最小值為 。
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【題目】如果線段AB與線段CD沒(méi)有交點(diǎn),則( 。
A.線段AB與線段CD一定平行
B.線段AB與線段CD一定不平行
C.線段AB與線段CD可能平行
D.以上說(shuō)法都不正確
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