Question

如圖，BE、BD是△ABC中∠ABC的內(nèi)、外角平分線，AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，交BC的延長(zhǎng)線于F．
（1）判斷四邊形ADBE的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）DE與BF相等嗎？為什么？
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADBE是一個(gè)正方形？并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,矩形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）利用矩形的判定方法得出∠DBE=∠ADB=∠AEB=90°，即可得出答案；
（2）利用矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定得出AB=BF，進(jìn)而得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及正方形的判定得出即可．

解答：解：（1）四邊形ADBE是矩形；
理由：∵BE、BD是△ABC中∠ABC的內(nèi)、外角平分線，
∴∠DBE=

1

2

×180°=90°，
∵AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
則∠DBE=∠ADB=∠AEB=90°，
∴四邊形ADBE是矩形；

（2）DE=BF，
理由：在△ABE和△FBE中，

∠ABE=∠FBE BE=BE ∠BEA=∠BEF

，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB=BF，
∵四邊形ADBE是矩形，
∴DE=AB，
∴DE=BF；

（3）△ABC為等腰直角三角形時(shí)，四邊形ADBE是一個(gè)正方形，
理由：∵四邊形ADBE是矩形，
∴當(dāng)AE=BE時(shí)，四邊形ADBE是一個(gè)正方形，
∴△ABC為等腰直角三角形時(shí)，AB=BC，∠ABC=90°，
則BE=AE=EC，
∴矩形ADBE是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)，正確區(qū)分矩形與正方形的判定是解題關(guān)鍵．