Question

如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=﹣x²+bx+c（c＞0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CA∥x軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．

（1）若點A的坐標是（﹣4，4）

①求b，c的值；

②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；

（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）

①∵AC∥x軸，A點坐標為（﹣4，4）．∴點C的坐標是（0，4）

把A、C代入y═﹣x²+bx+c得， 得，解得；

②四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下：

由①得拋物線的解析式為y═﹣x²﹣4x+4，∴頂點D的坐標為（﹣2，8），

過D點作DE⊥AB于點E，則DE=OC=4，AE=2，

∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90°，

∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠BCO，∴AD∥BO，

∴四邊形AOBD是平行四邊形．

（2）存在，點A的坐標可以是（﹣2，2）或（2，2）

要使四邊形AOBD是矩形；則需∠AOB=∠BCO=90°，

∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，

又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，

∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，

∵C點是拋物線與y軸交點，∴OC=c，

∴A點坐標為（c，c），∴頂點橫坐標=c，b=c，

∵將A點代入可得c=﹣+c•c+c，

∴橫坐標為±c，縱坐標為c即可，令c=2，

∴A點坐標可以為（2，2）或者（﹣2，2）．