如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′．設(shè)平移的距離為x（cm），兩個(gè)三角形重疊部分（陰影四邊形）的面積為S（cm²）．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，求S的值．
（2）試寫出S與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．
（3）是否存在x的值，使重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為1：

2

？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)的平移距離x；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，某地計(jì)劃在坡比為i=1：4的山坡OP（OQ為地面水平線）上逐排建造樓房AB、CD等．已知樓高（AB、CD等）均為20米，又知該地在冬季正午時(shí)太陽(yáng)光線（圖示箭頭方向）與地面所成的角最小為40°．
（1）求斜坡OP的坡角的度數(shù)；
（2）為使冬季正午時(shí)后面的樓（CD）完全不被前面一幢樓（AB）擋住陽(yáng)光，問兩樓間的斜坡距離BD至少為多少米？（最后結(jié)果四舍五入精確到0.1米）
（以下數(shù)據(jù)供選用：sin14°30'=0.25，tan14°=0.25，cos75°30'=0.25，cos14°=0.97，tan40°=0.84）

已知：三角形紙片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是邊AC上一點(diǎn)．將三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，折痕與BC、AB分別相交于E、F．
（1）設(shè)BE=x，B′C=y，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)△AFB′是直角三角形時(shí)，求出x的值．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，且(OA-8)2+

10-OC

=0，OB=OC．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿線段CO以5個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PH⊥OB，垂足為H，設(shè)△HBP的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PM∥CB交線段AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MR⊥OC，垂足為R，線段MR分別交直線PH、OB于點(diǎn)E、G，點(diǎn)F為線段PM的中點(diǎn)，連接EF．
①判斷EF與PM的位置關(guān)系；
②當(dāng)t為何值時(shí)，EG=2？

已知菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，∠A=60°，E為AB邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交AD于點(diǎn)F．將菱形先沿EF按圖1所示方式折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，過點(diǎn)A'作GH∥BD分別交線段BC、DC于點(diǎn)G、H，再將菱形沿GH按圖1所示方式折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，C'G與C'H分別交A'E與A'F于點(diǎn)M、N．若點(diǎn)C'在△A'EF的內(nèi)部或邊上，此時(shí)我們稱四邊形A'MC'N（即圖中陰影部分）為“重疊四邊形”．

（1）若把菱形紙片ABCD放在菱形網(wǎng)格中（圖中每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形），點(diǎn)A、B、C、D、E恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上．如圖2所示，請(qǐng)直接寫出此時(shí)重疊四邊形A'MC'N的面積；
（2）實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)AE的長(zhǎng)為m，若重疊四邊形A'MC'N存在．試用含m的代數(shù)式表示重疊四邊形A'MC'N的面積，并寫出m的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備用圖供實(shí)驗(yàn)，探究使用）．
解：（1）重疊四邊形A'MC'N的面積為；
（2）用含m的代數(shù)式表示重疊四邊形A'MC'N的面積為；m的取值范圍為．

如圖，把矩形紙片AOCD置于直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO=

3

，把矩形紙片沿直線AF折疊，使得點(diǎn)D與OC上的點(diǎn)E重合，這時(shí)AE平分∠OAF．
（1）填空：∠DAF∠EAF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）求出直線AE的解析式及點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)M是直線AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作AD的平行線，交y軸于點(diǎn)N，是否存在點(diǎn)M，使得以M、N、D、A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．
（Ⅰ）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，并求出周長(zhǎng)的最小值．

在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，以DE為折線，將△ADE翻折，設(shè)所得的△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積為y．
（1）如圖（甲），若∠C=90°，AB=10，BC=6，

AD

AB

=

1

3

，則y的值為；
（2）如圖（乙），若AB=AC=10，BC=12，D為AB中點(diǎn)，則y的值為；
（3）若∠B=30°，AB=10，BC=12，設(shè)AD=x．
①求y與x的函數(shù)解析式；
②y是否有最大值？若有，求出y的最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．