寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感．現(xiàn)將小明同學(xué)在數(shù)學(xué)活動課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：
第一步：作一個正方形；
第二步：分別取，的中點，，連接；
第三步：以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于；
第四步：過作⊥，交的延長線于。
請你根據(jù)以上作法，證明矩形為黃金矩形。

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連結(jié)BF。
【小題1】BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【小題2】當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由。

如圖，已知在梯形中，于點，交于點，連接。

【小題1】求證：
【小題2】若，求梯形的面積。

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，點E是CD上的一個動點（E不與D重合），過點E作EF∥AC，交AD于點F（當(dāng)E運動到C時，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對折，點D的對應(yīng)點是點G,如圖①．

【小題1】求CD的長及∠1的度數(shù)；
【小題2】設(shè)DE = x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時，y的值最大？最大值是多少？
【小題3】當(dāng)點G剛好落在線段BC上時,如圖②,若此時將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個單位，當(dāng)E點移動到線段AB上時運動停止.設(shè)平移時間為t（秒）,在平移過程中是否存在某一時刻t，使得△ABE為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由

如圖，分別是□ABCD的對角線上的兩點，且，求證：

已知，如圖E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由．

已知線段，．

（1）已知線段垂直于線段．設(shè)圖（1）、圖（2）和圖（3）中的四邊形的
面積分別為，和，則＝　　　，＝　　　，＝　　　；
（2）如圖（4），對于線段與線段垂直相交（垂足不與點，，，重合）的任意情形，請你就四邊形面積的大小提出猜想，并證明你的猜想.

如圖，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動．
【小題1】若動點M、N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點相遇？
【小題2】若點E在線段BC上，BE＝2cm，動點M、N同時出發(fā)且相遇時均停止運動，那么點M運動到第幾秒鐘時，與點A、E、N恰好能組成平行四邊形？

觀察下列圖形的變化過程，解答以下問題：


如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一動點（D點不與B、C兩點重合）．DE∥AC交AB于E點，DF∥AB交AC于F點．
【小題1】試探索AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；
【小題2】在（1）的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形？為什么？

（本題滿分7分）
如圖所示，在平行四邊形的各邊上，分別取點
，使．
求證：四邊形為平行四邊形．