我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“轉(zhuǎn)化”(或“化歸”)的思想方法，把待解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已解決或比較容易解決的問(wèn)題．

譬如，在學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法以后，進(jìn)一步研究二元一次方程組的解法時(shí)，我們通常采用“消元”的方法，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程；再譬如，在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理以后，進(jìn)一步研究多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題時(shí)，我們通常借助添加輔助線，把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，從而解決問(wèn)題．

問(wèn)題提出：如何把一個(gè)正方形分割成n(n≥9)個(gè)小正方形？

為解決上面問(wèn)題，我們先來(lái)研究?jī)煞N簡(jiǎn)單的“基本分割法”．

基本分割法1：如圖①，把一個(gè)正方形分割成4個(gè)小正方形，即在原來(lái)1個(gè)正方形的基礎(chǔ)上增加了3個(gè)正方形．

基本分割法2：如圖②，把一個(gè)正方形分割成6個(gè)小正方形，即在原來(lái)1個(gè)正方形的基礎(chǔ)上增加了5個(gè)正方形．

問(wèn)題解決：有了上述兩種“基本分割法”后，我們就可以把一個(gè)正方形分割成n(n≥9)個(gè)小正方形．

(1)把一個(gè)正方形分割成9個(gè)小正方形．

一種方法：如圖③，把圖①中的任意1個(gè)小正方形按“基本分割法2”進(jìn)行分割，就可增加5個(gè)小正方形，從而分割成4＋5＝9(個(gè))小正方形．

另一種方法：如圖④，把圖②中的任意1個(gè)小正方形按“基本分割法1”進(jìn)行分割，就可增加3個(gè)小正方形，從而分割成6＋3＝9(個(gè))小正方形．

(2)把一個(gè)正方形分割成10個(gè)小正方形．

方法：如圖⑤，把圖①中的任意2個(gè)小正方形按“基本分割法1”進(jìn)行分割，就可增加3×2個(gè)小正方形，從而分割成4＋3×2＝10(個(gè))小正方形．

(3)請(qǐng)你參照上述分割方法，把圖⑥給出的正方形分割成11個(gè)小正方形(用鋼筆或圓珠筆畫(huà)出草圖即可，不用說(shuō)明分割方法)

(4)把一個(gè)正方形分割成n(n≥9)個(gè)小正方形．

方法：通過(guò)“基本分割法1”、“基本分割法2”或其組合把一個(gè)正方形分割成9個(gè)、10個(gè)和11個(gè)小正方形，再在此基礎(chǔ)上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3個(gè)小正方形，從而把一個(gè)正方形分割成12個(gè)、13個(gè)、14個(gè)小正方形，依次類推，即可把一個(gè)正方形分割成n(n≥9)個(gè)小正方形．

從上面的分法可以看出，解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是找到兩種基本分割法，然后通過(guò)這兩種基本分割法或其組合把正方形分割成n(n≥9)個(gè)小正方形．

類比應(yīng)用：仿照上面的方法，我們可以把一個(gè)正三角形分割成n(n≥9)個(gè)小正三角形．

(1)基本分割法1：把一個(gè)正三角形分割成4個(gè)小正三角形(請(qǐng)你在圖a中畫(huà)出草圖)．

(2)基本分割法2：把一個(gè)正三角形分割成6個(gè)小正三角形(請(qǐng)你在圖b中畫(huà)出草圖)．

(3)分別把圖c、圖d和圖e中的正三角形分割成9個(gè)、10個(gè)和11個(gè)小正三角形(用鋼筆或圓珠筆畫(huà)出草圖即可，不用說(shuō)明分割方法)

(4)請(qǐng)你寫(xiě)出把一個(gè)正三角形分割成n(n≥9)個(gè)小正三角形的分割方法(只寫(xiě)出分割方法，不用畫(huà)圖)．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且．

(1)若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在(1)中，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若將點(diǎn)O、點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q(－2k，0)、點(diǎn)R(5k，0)(k＞1的常數(shù))，設(shè)過(guò)Q、R兩點(diǎn)，且以QR的垂直平分線為對(duì)稱軸的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N，其頂點(diǎn)為M，記△QNM的面積為S_△QMN，△QNR的面積S_△QNR，求S_△QMN∶S_△QNR的值．

如圖，已知⊙O的半徑為2，以⊙O的弦AB為直徑作⊙M，點(diǎn)C是⊙O優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合)．連結(jié)AC、BC，分別與⊙M相交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連結(jié)DE．若．

(1)求∠C的度數(shù)；

(2)求DE的長(zhǎng)；

(3)如果記tan∠ABC＝y(tǒng)，，那么在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試用含x的代數(shù)式表示y．

問(wèn)題探究

(1)請(qǐng)?jiān)趫D的正方形ABCD內(nèi)，畫(huà)出使∠AOB＝90°的一個(gè)點(diǎn)P，并說(shuō)明理由．

(2)請(qǐng)?jiān)趫D的正方形ABCD內(nèi)(含邊)，畫(huà)出使∠APB＝60°的所有的點(diǎn)P，并說(shuō)明理由．

問(wèn)題解決

(3)如圖，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABCD，AB＝4，BC＝3．工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和鋼板，且．請(qǐng)你在圖中畫(huà)出符合要求的點(diǎn)P和，并求出△APB的面積(結(jié)果保留根號(hào))．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－1，2)．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式；

(3)連接AB，在(2)中的拋物線上求出點(diǎn)P，使得S_△ABP＝S_△ABO．

已知：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止)，過(guò)點(diǎn)M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，t為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；

(2)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．求四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍．

如圖1、圖2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB(與地面平行)或繞定點(diǎn)P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中始終保持)．通過(guò)向下踩踏點(diǎn)A到(與地面接觸點(diǎn))使點(diǎn)B上升到點(diǎn)，與此同時(shí)傳動(dòng)桿BH運(yùn)動(dòng)到的位置，點(diǎn)H繞固定點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)(DH為旋轉(zhuǎn)半徑)至點(diǎn)，從而使桶蓋打開(kāi)一個(gè)張角．

如圖，桶蓋打開(kāi)后，傳動(dòng)桿所在的直線分別與水平直線AB、DH垂直，垂足為點(diǎn)M、C，設(shè)．測(cè)得AP＝6 cm，PB＝12 cm，．要使桶蓋張開(kāi)的角度不小于60°，那么踏板AB離地面的高度至少等于多少cm？(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

(參考數(shù)據(jù)：)

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過(guò)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、D重合)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．

(1)求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)s取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)是否在該拋物線上．

在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝________度；

(2)設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．

①如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．

如圖所示，山坡上有一棵與水平面垂直的大樹(shù)，一場(chǎng)臺(tái)風(fēng)過(guò)后，大樹(shù)被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹(shù)的頂部恰好接觸到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得樹(shù)干傾斜角∠BAC＝38°，大樹(shù)被折斷部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4 m．

(1)求∠CAE的度數(shù)；

(2)求這棵大樹(shù)折斷前的高度？

(結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：)．