數(shù)學(xué)家們通過(guò)長(zhǎng)期的研究，得到了關(guān)于“等周問(wèn)題”的重要結(jié)論：在周長(zhǎng)相同的所有封閉平面曲線中，以圓所圍成的面積最大．
“等周問(wèn)題”雖然較為繁雜，但其根本思想基于下面2個(gè)事實(shí)：
事實(shí)1：等周長(zhǎng)n邊形的面積，當(dāng)圖形為正n邊形時(shí)，其面積最大；
事實(shí)2：等周長(zhǎng)n邊形的面積，當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí)，其面積也越大．
為了理解這些事實(shí)的合理性，曙光數(shù)學(xué)小組走出校門展開(kāi)了下列課題研究．請(qǐng)你幫助他們解決其中的一些問(wèn)題．
現(xiàn)有長(zhǎng)度為100m的籬笆（可彎曲圍成一個(gè)區(qū)域）．
（1）如果用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，怎樣圍才能使雞場(chǎng)的面積最大？為什么？
（2）如果用籬笆圍成一個(gè)正五邊形雞場(chǎng)，那么與（1）中的正方形雞場(chǎng)比較，哪個(gè)面積更大？請(qǐng)?jiān)谑聦?shí)1的基礎(chǔ)上證明事實(shí)2：“等周長(zhǎng)n邊形的面積，當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí)，其面積也越大．”
（3）利用事實(shí)1和事實(shí)2，請(qǐng)對(duì)“等周問(wèn)題”的重要結(jié)論作出較為合理的解釋．
（4）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明提出一個(gè)問(wèn)題：如果借用一條充分長(zhǎng)的直墻，將籬笆圍成一個(gè)四邊形雞場(chǎng)，為了使雞場(chǎng)的面積盡量大，所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)是寬的2倍（如圖）．你覺(jué)得他講的是否有道理？你有沒(méi)有更好的方法，使圍成的四邊形雞場(chǎng)的面積更大？如果有，請(qǐng)說(shuō)明你的方法．

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-

1

2

x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．
（1）如圖，若該拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)Q．
（i）若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（ii）取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ．試探究

PQ

NP+BQ

是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖，在直角坐標(biāo)系中，OA=OC，AB=4，tan∠BCO=

1

5

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）求過(guò)點(diǎn)A、B和拋物線頂點(diǎn)D的圓的半徑．

如圖，OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，點(diǎn)B在拋物線y=ax²（a＜0）的圖象上，則a的值為（　�。�

A．- 2 3

B．- 2 3

C．-2

D．- 1 2

新星電子科技公司積極應(yīng)對(duì)2008年世界金融危機(jī)，及時(shí)調(diào)整投資方向，瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽(yáng)能光伏電池生產(chǎn)線．由于新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)初期成本高，且市場(chǎng)占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來(lái)，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來(lái)逐步盈利的過(guò)程（公司對(duì)經(jīng)營(yíng)的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）．公司累積獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與銷售時(shí)間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（即前x個(gè)月的利潤(rùn)總和y與x之間的關(guān)系）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在如圖所示的圖象上．該圖象從左至右，依次是線段OA、曲線AB和曲線BC，其中曲線AB為拋物線的一部分，點(diǎn)A為該拋物線的頂點(diǎn)，曲線BC為另一拋物線y=-5x²+205x-1230的一部分，且點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為4，10，12．
（1）求該公司累積獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與時(shí)間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）直接寫出第x個(gè)月所獲得S（萬(wàn)元）與時(shí)間x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出計(jì)算過(guò)程）；
（3）前12個(gè)月中，第幾個(gè)月該公司所獲得的利潤(rùn)最多，最多利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

如圖，點(diǎn)C是半圓O的半徑OB上的動(dòng)點(diǎn)，作PC⊥AB于C．點(diǎn)D是半圓上位于PC左側(cè)的點(diǎn)，連接BD交線段PC于E，且PD=PE．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4

3

，PC=8

3

，設(shè)OC=x，PD²=y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x=

3

時(shí)，求tanB的值．

已知二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（c，-2），，求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3．
題目中的矩形框部分是一段墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字．
（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整．

已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（-1，0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y負(fù)半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線l₂交于點(diǎn)D，如圖所示．
（1）求證：△AOC∽△COB；
（2）求出拋物線的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)直線l₁繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）時(shí)，它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P（x，y），求四邊形APCB面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求S的最大值；
（4）當(dāng)直線l₁繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，請(qǐng)找出使△ECD為等腰三角形的點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

如圖，C（0，3），過(guò)點(diǎn)C開(kāi)口向下的拋物線交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），已知∠CBA=45°，tanA=3；
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求拋物線解析式及拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）E（0，m）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）
①當(dāng)直線EB與△BCD外接圓相切時(shí)，求m的值；
②指出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠DEC與∠DBC的大小關(guān)系及相應(yīng)m的取值范圍．

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的頂點(diǎn)為P，將△BOC繞著它的頂點(diǎn)B順時(shí)針在第一象限內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α，旋轉(zhuǎn)后的圖形為△BO′C′．
①當(dāng)O′C′∥CP時(shí)，求α的大小；
②△BOC在第一象限內(nèi)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的△BO′C′有一邊與BP重合時(shí)，求△BO′C′不在BP上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．