如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、BC、AC為斜邊向外作等腰直角三角形，設(shè)所作的△ABD、△BCE、△ACF的面積分別為S₁、S₂、S₃，求證：S₁=S₂+S₃．

在△ABC中，AB=AC=25，BC=40，AD為△ABC中BC邊上的中線，求AD的長(zhǎng)．

如圖，△ABC中，AB=2，BC=5，AC=4．AD、AE分別為CB邊上的高和中線，求DE的長(zhǎng)．

如圖，在△ABC中，∠C=90°，D為BC邊上一點(diǎn)，∠DAC=30°，BD=AD，且AB=2

3

，則AC的長(zhǎng)度是（　�。�

如圖，已知直線l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b為常數(shù)）與y軸、x軸分別交于A點(diǎn)、B點(diǎn)，雙曲線C：y=

3

x

（x＞0）．

（1）當(dāng)k=-1，b=2

3

時(shí)，求直線l與雙曲線C公共點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)b=2

-3k

時(shí)，求證：不論k為任何小于零的實(shí)數(shù)，直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)（設(shè)為P），并求公共點(diǎn)P的坐標(biāo)（用k的式子表示）．
（3）①在（2）的條件下，試猜想線段PA、PB是否相等．若相等，請(qǐng)加以證明；若不相等，請(qǐng)說明理由；
②若直線l與雙曲線C相交于兩點(diǎn)P₁、P₂，猜想并證明P₁A與P₂B之間的數(shù)量關(guān)系．

關(guān)于x的不等式ax²-（a²+1）x+a＞0（a≠0）的解集為（　�。�

如圖，請(qǐng)分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
（1）∵∠1=∠5（已知），
∴∥（　
（2）∵∠2=∠6（已知），
∴∥（�。�
（3）∵∠4=∠7（已知），
∴∥（�。�
（4）∵∠3=∠4（已知），
∴∥（�。�
（5）∵∠3+∠BCD=180°（已知），
∴∥（�。�

（1）如圖所示，已知∠B=32°，∠D=38°，AM，CM分別平分∠BAD和∠BCD，求∠M的度數(shù)．
（2）你能把上述問題一般化嗎？你會(huì)證明該一般化結(jié)論嗎？

某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：
（1）如圖1所示在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，求證：
①AF=AG=

1

2

AB；
②MD=ME．
（2）在任意△ABC中，仍分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，試判斷△MDE的形狀．（直接寫答案，不需要寫證明過程）．
（3）在任意△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，則MD與ME有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

如圖，某中學(xué)在主樓的頂部和大門的上方之間掛一些彩旗，經(jīng)測(cè)量，得到大門的高度是5m，大門距主樓的距離是30m，在大門處測(cè)得主樓頂部的仰角是30°，而當(dāng)時(shí)測(cè)傾器離地面1.4m．求：
（1）學(xué)校主樓的高度（結(jié)果精確到0.01m）
（2）大門頂部與主樓頂部的距離（結(jié)果精確到0.01m）