Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上，且、、三點(diǎn)共線.若圓的直徑為.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線的切線，，證明直線，的交點(diǎn)在定直線上，并求出該直線.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；定直線

【解析】

（1）由題可知中點(diǎn)為，，設(shè)、到準(zhǔn)線的距離分別為，.到準(zhǔn)線的距離為，由梯形中位線得到方程，再根據(jù)拋物線定義求解.

（2）設(shè)，，由，得，則，分別設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解.

（1）由題可知中點(diǎn)為，設(shè)、到準(zhǔn)線的距離分別為，.到準(zhǔn)線的距離為，

則，由拋物線定義得，，所以，

所以，即.

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，由，得，則，

所以直線的方程為，直線的方程為，

聯(lián)立，方程得，即，的點(diǎn)坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>過(guò)焦點(diǎn)，

由題可知直線的斜率存在，所以設(shè)直線方程為，

與拋物線聯(lián)立得，

所以，，

所以直線，的交點(diǎn)在定直線上.