Question

8．一根長為l₀粗細均勻的蠟燭密度為ρ₀、橫截面積為S₀：它的底部粘有一塊密度為6ρ₀、質(zhì)量為m₁的金屬塊，現(xiàn)將該蠟燭放在裝有水的容器中，靜止后直立漂浮于水中（水的密度為1.2ρ₀），如圖所示，現(xiàn)將蠟燭點燃，其燃燒速度為v₀（v₀保持不變），請你推導并計算：
（1）當該蠟燭沒有點燃，直立漂浮于水中時，蠟燭露出水面的長度；
（2）從蠟燭剛被點燃到蠟燭燭焰熄滅的時間，（設燃燒時油不流下來）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)物體漂浮時浮力等于重力進行分析，并結合重力和密度計算公式計算出蠟燭淹沒在水中的高度，進一步得出蠟燭露出水面的長度；
（2）當蠟燭和金屬塊剛好懸浮時，蠟燭熄滅，根據(jù)浮力等于重力求出懸浮時蠟燭的高度，然后結合蠟燭的總長以及速度公式即可求出蠟燭熄滅的時間．

解答 解：（1）設蠟燭浸沒在水中的長度為L；
因為蠟燭和金屬塊漂浮，則有浮力等于重力，即
F_浮=G_總
ρ_水gV_排=m_總g
ρ_水g（S₀L+$\frac{{m}_{1}}{6{ρ}_{0}}$）=（ρ₀S₀l₀+m₁）g
L=$\frac{{ρ}_{0}{S}_{0}{l}_{0}+{m}_{1}-\frac{{m}_{1}}{6{ρ}_{0}}×1.2{ρ}_{0}}{1.2{ρ}_{0}{S}_{0}}$=$\frac{{ρ}_{0}{S}_{0}{l}_{0}+0.8{m}_{1}}{1.2{ρ}_{0}{S}_{0}}$；
故蠟燭露出水面的長度：L′=l₀-$\frac{{ρ}_{0}{S}_{0}{l}_{0}+0.8{m}_{1}}{1.2{ρ}_{0}{S}_{0}}$=$\frac{1}{6}$l₀-$\frac{2}{3}$$\frac{{m}_{1}}{{ρ}_{0}{S}_{0}}$；
（2）當蠟燭露出水面的長度為零時，蠟燭剛好熄滅，此時F_浮′=G_總′
設此時水中蠟燭的長度為h
則ρ_水gV_排′=m_總′g
ρ_水g（S₀h+$\frac{{m}_{1}}{6{ρ}_{0}}$）=（ρ₀S₀h+m₁）g
h=$\frac{{m}_{1}-\frac{{m}_{1}}{6{ρ}_{0}}{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}{S}_{0}-{ρ}_{0}{S}_{0}}$=$\frac{6{ρ}_{0}{m}_{1}-{m}_{1}{ρ}_{水}}{6{ρ}_{0}{ρ}_{水}{S}_{0}-6{ρ}_{0}^{2}{S}_{0}}$=$\frac{6{ρ}_{0}{m}_{1}-{1.2m}_{1}{ρ}_{0}}{6×1.2{ρ}_{0}^{2}{S}_{0}-6{ρ}_{0}^{2}{S}_{0}}$=$\frac{{4m}_{1}}{{ρ}_{0}{S}_{0}}$；
由v=$\frac{s}{t}$可得，蠟燭熄滅的時間：t=$\frac{s}{v}$=$\frac{{l}_{0}-\frac{4{m}_{1}}{{ρ}_{0}{S}_{0}}}{{v}_{0}}$=$\frac{{ρ}_{0}{S}_{0}{l}_{0}-4{m}_{1}}{{ρ}_{0}{S}_{0}{v}_{0}}$．
答：（1）蠟燭露出水面的長度為$\frac{1}{6}$l₀-$\frac{2}{3}$$\frac{{m}_{1}}{{ρ}_{0}{S}_{0}}$；
（2）從蠟燭剛被點燃到蠟燭燭焰熄滅的時間為$\frac{{ρ}_{0}{S}_{0}{l}_{0}-4{m}_{1}}{{ρ}_{0}{S}_{0}{v}_{0}}$．

點評 本題考查了學生對重力公式、阿基米德原理、物體的漂浮條件以及密度計算公式的掌握和運用，具有一定的難度．