Question

11．南陵縣城區(qū)居民正在普及使用天然氣，如圖所示，某開發(fā)區(qū)新建兩個住宅區(qū)A區(qū)和B區(qū)，現(xiàn)在要從天然氣主要道MN的一個地方建立一個接口，同時向這兩個小區(qū)供氣，為了找到一條最短路線節(jié)省管道（即從小區(qū)A到天然氣管道接口O再到小區(qū)B的總路程最短）可以將天然氣管道MN看成一個平面鏡，從A點作出一條入射光線AO經(jīng)MN反射后恰好通過B點，請在圖中完成此作圖，并證明入射點O即為最短路線的接口．

Answer 1

分析 本題為數(shù)學(xué)上的最短路線問題，由平面鏡的成像特點知，像與物關(guān)于鏡面對稱，且像是由光的反射光線的延長線形成的，作出A點關(guān)于天然氣管道MN對稱點A′，連接A′B，交天然氣管道MN于點O，即為最短路線的接口，再完成路線圖．

解答 解：如圖1所示，做A關(guān)于天然氣管道MN對稱點A′，連接A′B與天然氣管道MN相交于點O，則最短路線為由A到O再到B．
若在天然氣管道MN上任意取一點O′，連接AO′、O′B，如圖2所示．
因為A、A′關(guān)于天然氣管道MN對稱，所以天然氣管道MN是AA′的垂直平分線，所以O(shè)′A′=O′A，OA′=OA．
則OA+OB=OA′+OB=A′B
O′A+O′B=O′A′+O′B＞A′B（三角形的兩邊之和大于第三邊）
所以O(shè)′A+O′B＞OA+OB
因此，圖1所示為最短路線節(jié)省管道，即入射點O即為最短路線的接口．

點評 此題主要考查了考查了有關(guān)最短路程問題，其中用到了平面鏡成像的特點的知識．本題利用了平面鏡成像的特點作圖．平面鏡成的像與物關(guān)于鏡面對稱．