Question

19．如圖所示，是小明同學(xué)通滑輪用水桶從井中勻速堤水的示意圖，水桶為粗細(xì)均勻的鐵質(zhì)圓柱形容器，其外徑為D，水桶高為h₀；水桶裝滿水總重為G₀，水桶自重為G₁，水的密度記為ρ₀，鐵的密度記為ρ₁，若不考慮水的阻力，不計(jì)繩重和滑輪摩擦，且整個(gè)上升過(guò)程中，井水深度變化不計(jì)，請(qǐng)完成下列分析和計(jì)算：
（1）求解到水桶受到水的浮力的最大值；
（2）求解在水桶露出水面之前，繩子的拉力；
（3）推導(dǎo)出自水桶桶口與水面相平開始到水桶整體剛剛披提出水面的過(guò)程中，繩子的拉力F隨上升高度h變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)水桶剛好露出水面時(shí)，水桶受到的浮力最大，并利用F_浮=ρgV_排求出浮力；
（2）水桶未露出水面前，繩子受到的拉力等于桶的重力與桶受到浮力的合力；
（3）先對(duì)水桶進(jìn)行受力分析，然后根據(jù)二力平衡的條件以及阿基米德原理得出繩子的拉力F隨上升高度h變化的關(guān)系式．

解答 解：（1）當(dāng)水桶剛好露出水面時(shí)，水桶受到的浮力最大，水桶受到水的浮力的最大值：F_浮=ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²h₀；
（2）由G=mg可得，鐵的質(zhì)量：m₁=$\frac{{G}_{1}}{g}$
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，鐵的體積：V₁=$\frac{{m}_{1}}{{ρ}_{1}}$=$\frac{{G}_{1}}{{ρ}_{1}g}$
鐵受到的浮力：F_浮′=ρ₀gV₁=$\frac{{G}_{1}}{{ρ}_{1}}$ρ₀；
在水桶露出水面之前，水受到的浮力與重力剛好相等，鐵受到的浮力：因此繩子的拉力：F=G₁-F_浮=G₁-$\frac{{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$G₁；
（3）水桶桶口與水面相平開始到水桶整體剛剛被提出水面的過(guò)程中，水桶受到水和桶的向下的重力、向上受到拉力和浮力作用，由二力平衡條件可得：
G₀=F+F_浮
G₀=F+ρ₀gV_排
G₀=F+ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²×（h₀-h）
F=ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²×（h₀-h）-G₀．
答：（1）水桶受到水的浮力的最大值為ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²h₀；
（2）在水桶露出水面之前，繩子的拉力為G₁-$\frac{{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$G₁；
（3）繩子的拉力F隨上升高度h變化的關(guān)系式為F=ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²×（h₀-h）-G₀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查阿基米德原理、二力合成以及二力平衡條件的應(yīng)用，關(guān)鍵是會(huì)對(duì)水桶進(jìn)行正確的受力分析，同時(shí)明確水在水中時(shí)的浮力與重力是一對(duì)平衡力．