Question

19．如圖，用細(xì)線(xiàn)將一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm，重為6N的正方體系在底面積為400cm²的圓柱形容器底部，當(dāng)往容器內(nèi)倒入適量的水，細(xì)線(xiàn)剛好被拉直，細(xì)線(xiàn)AB長(zhǎng)為14cm（ g=10N/kg ）．求：
（1）木塊的密度是多大？
（2）此時(shí)，水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)是多大？
（3）接著，又往容器內(nèi)加水，當(dāng)細(xì)線(xiàn)的拉力為4N時(shí)，這時(shí)所加水的質(zhì)量是多少？
（4）若剪斷細(xì)線(xiàn)，待木塊靜止后，將木塊露出水面的部分切去，剩余木塊靜止時(shí)，容器底部所受水的壓強(qiáng)減少了多少Pa？

Answer 1

分析 （1）知道正方體木塊的邊長(zhǎng)可求體積，根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{G}{gV}$求出木塊的密度；
（2）細(xì)線(xiàn)剛好被拉直時(shí)，木塊受到的浮力和自身的重力相等，根據(jù)阿基米德原理和密度公式、重力公式、體積公式得出等式即可求出木塊浸入水中的深度，然后加上細(xì)線(xiàn)的長(zhǎng)度即為容器內(nèi)水的深度，根據(jù)p=ρgh求出水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)；
（3）當(dāng)細(xì)線(xiàn)的拉力為4N時(shí)，木塊受到的浮力等于自身重力加上繩子的拉力，根據(jù)阿基米德原理求出排開(kāi)水的體積，然后求出木塊浸沒(méi)的深度，求出容器內(nèi)水的深度，再求出所加水的體積，根據(jù)密度公式求出所加水的質(zhì)量；
（4）兩次排開(kāi)水的體積只差即為若剪斷細(xì)線(xiàn)后排開(kāi)水體積的減少量，根據(jù)F_浮=ρ_水gV_排和G=mg=ρVg以及物體漂條件得出木塊露出部分和總體積的比值不變，據(jù)此求出將木塊露出水面的部分切去剩余木塊靜止時(shí)排開(kāi)水體積的減少量，兩次水體積的減少量即為排開(kāi)水減少水的總體積，根據(jù)體積公式求出水下降的深度，根據(jù)p=ρgh求出容器底部所受水的壓強(qiáng)減少的大�。�

解答 解：（1）正方體木塊的體積：
V=L³=（10cm）³=10³cm³=10^-3m³，
木塊的密度：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{G}{gV}$=$\frac{6N}{10N/kg×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=0.6×10³kg/m³；
（2）細(xì)線(xiàn)剛好被拉直時(shí)，木塊受到的浮力和自身的重力相等，
由F_浮=ρ_水gV_排可得，木塊排開(kāi)水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{6N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=6×10^-4m³，
木塊的底面積：
S=L²=（10cm）²=10²cm²=10^-2m²，
木塊浸入水中的深度：
h=$\frac{{V}_{排}}{S}$=$\frac{6×1{0}^{-4}{m}^{3}}{1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.06m，
此時(shí)容器內(nèi)水的深度：
h_水=L_AB+h=14×10^-2m+0.06m=0.2m，
水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)：
p=ρ_水gh_水=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2000Pa；
（3）當(dāng)細(xì)線(xiàn)的拉力為4N時(shí)，木塊受到的浮力：
F_浮′=G+F=6N+4N=10N，
木塊排開(kāi)水的體積：
V_排′=$\frac{{F}_{浮}′}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{10N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=10^-3m³，
木塊浸入水中的深度：
h′=$\frac{{V}_{排}′}{S}$=$\frac{1{0}^{-3}{m}^{3}}{1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.1m，即木塊恰好完全浸沒(méi)，
則所加水的深度：
h_水′=0.1m-0.06m=0.04m，
所加水的體積：
V_水=（S_容-S）h_水′=（400×10^-4m²-10^-2m²）×0.04m=1.2×10^-3m³，
所加水的質(zhì)量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×1.2×10^-3m³=1.2kg；
（4）若剪斷細(xì)線(xiàn)，待木塊靜止后，排開(kāi)水體積的減少量：
△V=V_排′-V_排=10^-3m³-6×10^-4m³=4×10^-4m³，
因物體漂浮時(shí)受到的浮力和自身的重力相等，
所以，由F_浮=ρ_水gV_排和G=mg=ρVg可得：
ρ_水gV_排=ρVg，即$\frac{{V}_{排}}{V}$=$\frac{ρ}{{ρ}_{水}}$，
則將木塊露出水面的部分切去，剩余木塊靜止時(shí)，木塊露出部分和總體積的比值不變，
此時(shí)排開(kāi)水體積的減少量：
△V′=$\frac{ρ}{{ρ}_{水}}$V_排=$\frac{0.6×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$×6×10^-4m³=3.6×10^-4m³，
則液體下降的深度：
△h=$\frac{△V+△V′}{{S}_{容}}$=$\frac{4×1{0}^{-4}{m}^{3}+3.6×1{0}^{-4}{m}^{3}}{400×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.019m，
容器底部所受水的壓強(qiáng)減少了：
△p=ρ_水g△h=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.019m=190Pa．
答：（1）木塊的密度是0.6×10³kg/m³；
（2）此時(shí)，水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)是2000Pa；
（3）這時(shí)所加水的質(zhì)量是1.2kg；
（4）容器底部所受水的壓強(qiáng)減少了190Pa．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了密度公式、物體浮沉條件、阿基米德原理、液體壓強(qiáng)公式的綜合應(yīng)用，知道木塊總體積變化時(shí)排開(kāi)水的體積和自身總體積的比值不變是關(guān)鍵．