Question

20．如圖所示，兩個底面積大小分別為10cm²和8cm²的薄壁圓柱形容器A和B放置在水平桌面上，已知A容器內部液體甲對容器底部產生的壓強為3200Pa，B容器內部盛有的液體乙是水，且兩容器中的液體液面高度均為0.4m．
求：（1）甲液體的密度ρ_甲．
（2）乙液體（水）對B容器底部的壓力F_乙．
（3）若再從A、B兩容器內同時抽出體積（△V）相等的液體后，甲乙兩種液體對容器底部的壓強分別為ρ_甲′和ρ_乙′．請通過計算比較它們的大小關系及其對應的△V的取值范圍（結果保留兩位小數）．

Answer 1

分析 （1）知道液體甲的深度和對容器底部產生的壓強，利用壓強公式求甲液體的密度；
（2）由于是圓柱形容器，利用F=G=mg=ρshg求乙液體（水）對B容器底部的壓力；
（3）利用壓強公式求乙液體（水）對B容器底部的壓強；
抽出體積（△V）相等的液體后，減小的壓強△p_甲=$\frac{{ρ}_{甲}△Vg}{{S}_{甲}}$，△p_乙=$\frac{{ρ}_{乙}△Vg}{{S}_{乙}}$，若甲乙兩種液體對容器底部的壓強相等，則（p_甲-$\frac{{ρ}_{甲}△Vg}{{S}_{甲}}$）=（p_乙-$\frac{{ρ}_{乙}△Vg}{{S}_{乙}}$），據此求出當液體對容器底部的壓強相等時△V的大小，求出此時對容器底的壓強，進而得出容器底受到的壓強大小關系及其對應的△V的取值范圍．

解答 解：
（1）由p=ρgh可知：
甲液體的密度ρ_甲=$\frac{{p}_{甲}}{gh}$=$\frac{3200Pa}{10N/kg×0.4m}$=0.8×10³kg/m³；
（2）由于容器A和B是薄壁圓柱形的容器，放置在水平桌面上，則乙液體（水）對B容器底部的壓力：
F_乙=G_乙=ρ_乙S_乙hg=1×10³kg/m³×8×10^-4m²×0.4m×10N/kg=3.2N；
（3）乙液體（水）對B容器底部的壓強：
p_乙=ρ_乙gh=1×10³kg/m³×10N/kg×0.4m=4000Pa；
從A、B兩容器內同時抽出體積（△V）相等的液體后，則減小的壓強△p_甲=$\frac{{ρ}_{甲}△Vg}{{S}_{甲}}$，△p_乙=$\frac{{ρ}_{乙}△Vg}{{S}_{乙}}$，
若p_甲′=p_乙′，
則：（p_甲-$\frac{{ρ}_{甲}△Vg}{{S}_{甲}}$）=（p_乙-$\frac{{ρ}_{乙}△Vg}{{S}_{乙}}$）；
所以，△V=$\frac{{p}_{乙}-{p}_{甲}}{（\frac{{ρ}_{乙}}{{S}_{乙}}-\frac{{ρ}_{甲}}{{ρ}_{甲}}）g}$=$\frac{4000Pa-3200Pa}{（\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{8×1{0}^{-4}{m}^{2}}-\frac{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{10×1{0}^{-4}{m}^{2}}）×10N/kg}$≈1.78×10^-4m³．
所以，p_甲′=p_乙′=p_甲-$\frac{{ρ}_{甲}△Vg}{{S}_{甲}}$=3200Pa-$\frac{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×1.78×1{0}^{-4}{m}^{3}×10N/kg}{10×1{0}^{-4}{m}^{3}}$=1776Pa．
則當0＜△V＜1.78×10^-4m³，p_甲′＜p_乙′；
當△V=1.78×10^-4m³時，p′_甲=p_乙′；
當1.78×10^-4m³＜△V＜3.2×10^-4m³時，p_甲′＞p_乙′．
答：（1）求甲液體的密度為800千克/米³；
（2）乙液體（水）對B容器底部的壓力為3.136牛；
（3）當0＜△V＜1.78×10^-4m³，p_甲′＜p_乙′；
當△V=1.78×10^-4m³時，p′_甲=p_乙′；
當1.78×10^-4m³＜△V＜3.2×10^-4m³時，p_甲′＞p_乙′．

點評 本題考查了學生對液體壓強公式、壓強定義式的掌握和運用，涉及到容器底受到液體壓強的變化，要求靈活運用公式分析求解．