Question

13．甲液體的密度為ρ_甲，乙液體的密度為ρ_乙，用質量均為m的甲液體和乙液體配制密度為$\frac{{ρ}_{甲}+{ρ}_{乙}}{2}$的混合液，則最多能配成此混合液體多少千克？（溫馨提示：要分類討論）

Answer 1

分析 混合液體的質量等于兩液體的質量之和，體積等于兩液體體積之和，根據ρ=$\frac{m}{V}$表示出混合液體的密度即可求出兩液體的體積關系，然后討論兩液體的密度得出混合液體的質量．

解答 解：設混合液的密度為$\frac{{ρ}_{甲}+{ρ}_{乙}}{2}$時，需要兩液體的體積分別為V_甲、V_乙，
則混合液體的體積V_混=V_甲+V_乙，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，混合液體的質量：
m_混=m_甲+m_乙=ρ_甲V_甲+ρ_乙V_乙，
混合液體的密度：
ρ_混=$\frac{{m}_{混}}{{V}_{混}}$=$\frac{{ρ}_{甲}{V}_{甲}+{ρ}_{乙}{V}_{乙}}{{V}_{甲}+{V}_{乙}}$=$\frac{{ρ}_{甲}+{ρ}_{乙}}{2}$，
整理可得：V_甲=V_乙，
當ρ_甲＞ρ_乙時，V_甲＜V_乙，
則配成此混合液體的最大質量：
m_總=ρ_甲V_甲+ρ_乙V_甲=ρ_甲×$\frac{m}{{ρ}_{甲}}$+ρ_乙×$\frac{m}{{ρ}_{甲}}$=（1+$\frac{{ρ}_{乙}}{{ρ}_{甲}}$）m；
當ρ_甲=ρ_乙時，V_甲=V_乙，
則配成此混合液體的最大質量：
m_總=m_甲+m_乙=m+m=2m；
當ρ_甲＜ρ_乙時，V_甲＞V_乙，
則配成此混合液體的最大質量：
m_總=ρ_甲V_乙+ρ_乙V_乙=ρ_甲×$\frac{m}{{ρ}_{乙}}$+ρ_乙×$\frac{m}{{ρ}_{乙}}$=（1+$\frac{{ρ}_{甲}}{{ρ}_{乙}}$）m；
答：當ρ_甲＞ρ_乙時，配成此混合液體的最大質量為（1+$\frac{{ρ}_{乙}}{{ρ}_{甲}}$）m；
當ρ_甲=ρ_乙時，配成此混合液體的最大質量為2m；
當ρ_甲＜ρ_乙時，配成此混合液體的最大質量為（1+$\frac{{ρ}_{甲}}{{ρ}_{乙}}$）m．

點評 本題考查了學生對密度公式的掌握和運用，知道為得到密度ρ_混=$\frac{{ρ}_{甲}+{ρ}_{乙}}{2}$的混合溶液時需要取相同體積的兩種溶液是本題的關鍵．