Question

【題目】如圖為用三角形剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖。AB桿和CD桿可分別繞過(guò)A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A、D兩點(diǎn)位于同一水平線上。BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動(dòng)（類似鉸鏈）。當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時(shí)，AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水平方向成角，已知AB桿的長(zhǎng)度為l，BC桿和CD桿的長(zhǎng)度由圖給定。求此時(shí)C點(diǎn)加速度的大小和方向（用與CD桿之間的夾角表示）。

Answer 1

【答案】，的方向與桿CD間的夾角為

【解析】

因?yàn)?/span>B點(diǎn)繞A軸做圓周運(yùn)動(dòng),其速度的大小為

. ①

B點(diǎn)的向心加速度的大小為

. ②

因?yàn)槭莿蚪撬俎D(zhuǎn)動(dòng),B點(diǎn)的切向加速度為0,故也是B點(diǎn)的加速度,其方向沿BA方向.因?yàn)?/span>C點(diǎn)繞D軸做圓周運(yùn)動(dòng),其速度的大小用表示,方向垂直于桿CD,在考察的時(shí)刻,由圖乙可知,方向沿桿BC方向.因BC是剛性桿,所以B點(diǎn)和C點(diǎn)沿BC方向的速度必相等,故有

。 ③

此時(shí)桿CD繞D軸按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng),C點(diǎn)的法向加速度為

。 ④

由圖甲可知,由③④式得

， ⑤

其方向沿CD方向。

下面來(lái)分析C點(diǎn)垂直于桿方向的加速度,即切向加速度.因?yàn)?/span>是剛性桿,所以C點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只能是繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng),C點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的速度方向必垂直于桿.令表示其速度的大小,根據(jù)速度合成公式有。

由幾何關(guān)系得

。

由于C點(diǎn)繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)B點(diǎn)的向心加速度為

。

因?yàn)?/span>，

故有，其方向垂直于桿。

由②式及圖可知,B點(diǎn)的加速度沿桿的分量為

,

所以,C點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)(或D點(diǎn))的加速度垂直于桿方向的分量為

。

C點(diǎn)的總加速度為C點(diǎn)繞D點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度與切向加速度的合加速度,即

。

的方向與桿間的夾角為

。

本題是第24屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題。

本題的模型亦是平面鉸接的構(gòu)件,在一般的訓(xùn)練中,涉及變形問(wèn)題的只有兩桿件,桿件上各處的速度與加速度的關(guān)系比較直接,而本題給出了三個(gè)可變形桿件,且上沒(méi)有固定點(diǎn)或恒定的速度點(diǎn),其運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)便顯得更為復(fù)雜,其相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系(主要是相對(duì)加速度)更難把握我們可以本題的分析為例,掌握分析與解答此類問(wèn)題的方法。