Question

【題目】一只老鼠在圓形湖邊玩耍時碰上一只貓，它想回洞已來不及，只好跳入湖中力圖逃走。已知貓在岸上跑的速率是老鼠在湖中游的速率的4倍，沿湖邊周圍有很多鼠洞；那么老鼠能否逃脫貓的抓捕呢？如不能，請說明理由；如可能，請設(shè)計最佳路線。（貓不會游泳，老鼠也不能長時間地待在水中）

Answer 1

【答案】老鼠能否逃脫貓的抓捕

【解析】

設(shè)圓形湖的半徑為R,作同心圓K,鼠下水后沿半徑方向向湖心游去,進(jìn)入半徑為的圓K內(nèi).老鼠在圓K內(nèi)轉(zhuǎn)圈的角速度比貓沿湖岸跑動的角速度大,所以,老鼠可以游到和貓不在同一半徑上而在同一直徑上的圓K的邊界點P的位置上(此時貓在Q點處),然后沿此直徑游向湖岸即可。(如圖所示)

因為P到岸的最短距離是,所以鼠到岸邊所需時間為

。

貓跑到老鼠上岸的地點需要跑過半個大圓周,需要時間為

。

因為，

所以，，即。

這樣鼠上岸后就有時間逃進(jìn)洞去。

本題雖是運動分析題,但游戲特征與趣味性非常明顯,很有意思,這也是運動試題的一大屬性。

對運動過程中的不確定性或者說可能性的分析,能非常好地考查答題者在思維的全面性方面所表現(xiàn)出的特質(zhì),事實上,這種分析訓(xùn)練應(yīng)該是貫穿了學(xué)生成長的整個過程的,如小學(xué)階段的行程與追及問題,只是到了高中物理競賽中,其情境更為復(fù)雜而已。