Question

【題目】在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，BE、CF與射線AE分別相交于點(diǎn)E、F（射線AE不經(jīng)過(guò)點(diǎn)D）.

（1）如圖①，當(dāng)BE∥CF時(shí)，連接ED并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)H. 求證：四邊形BECH是平行四邊形；

（2）如圖②，當(dāng)BE⊥AE于點(diǎn)E，CF⊥AE于點(diǎn)F時(shí)，分別取AB、AC的中點(diǎn)M、N，連接ME、MD、NF、ND. 求證：∠EMD=∠FND.

圖① 圖②

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)ASA證明△BDE≌△CDH.得ED=HD.又BD＝CD，可得四邊形BECH是平行四邊形.

（2）連接FD、ED，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)H，根據(jù)（1）可知ED=HD.可得ED＝FD. 在Rt△AEB中，M是斜邊AB中點(diǎn)，故 ,同理.故ME=DN 同理，MD=NF. 由SSS證△MED≌△NDF.所以∠EMD=∠FND.

證明：（1）∵D為BC中點(diǎn)，

∴BD＝CD.

∵BE∥CF，

∴∠1＝∠2.

又∵∠3＝∠4，

∴△BDE≌△CDH.

∴ED=HD.

∴四邊形BECH是平行四邊形.

（2）連接FD、ED，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)H，

∵BE⊥AE，CF⊥AE，

∴BE∥CF.

根據(jù)（1）可知ED=HD.

又∵CF⊥AE，

∴ED＝FD.

∵Rt△AEB中，M是斜邊AB中點(diǎn)，

∴ ,

∵△ABC中，D、N分別是BC、AC中點(diǎn)，

∴.

∴ME=DN

同理，MD=NF.

∴△MED≌△NDF.

∴∠EMD=∠FND.