Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（m+1）x+mlnx，m＞0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₀，f（x₀））（x₀＞1）為f（x）的圖象上任意一點(diǎn)，若曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線的斜率恒大于-1，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ） 依題意，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=x-(m+1)+

m

x

=

x2-(m+1)x+m

x

=

(x-m)(x-1)

x

，
令f'（x）=0得x=m或x=1．
①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在（0，m）遞增，（m，1）遞減，（1，+∞）遞增；
②當(dāng)m=1時(shí)，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）遞增；
③當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）在（0，1）遞增，（1，m）遞減，（m，+∞）遞增；
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線的斜率大于-1，
所以當(dāng)x₀∈（1，+∞）時(shí)，f′(x)=x0-(m+1)+

m

x0

＞-1恒成立，
即當(dāng)x₀∈（1，+∞）時(shí)，x02-mx0+m＞0恒成立．
因x02-mx0+m＞0⇒x02＞m(x0-1)，
當(dāng)x₀＞1時(shí)x02＞m(x0-1)等價(jià)于m＜

x02

x0-1

．
設(shè)g(x0)=

x02

x0-1

=

(x0-1)2+2(x0-1)+1

x0-1

=(x0-1)+

1

x0-1

+2≥4（x₀=2時(shí)取等號(hào)）
則在（1，+∞）上，當(dāng)0＜m＜4時(shí)，
在函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)A處的切線的斜率恒大于-1．
注：構(gòu)造二次函數(shù)，比較

m

2

與1的大小也可得0＜m＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算．