Question

已知{a_n}是一個公差小于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₇=-27，a₂+a₈=6
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，在由所有前n項和S_n組成的數(shù)列{S_n}中，哪一項最大，最大項是多少？

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a₃，a₇是方程x²-6x-27=0的兩個根，由此求出a_n=-3n+18，n∈N^*．
（2）由S_n=15n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3

2

n2+

33

2

n=-

3

2

(n-

11

2

)2+

363

8

，能求出在由所有前n項和S_n組成的數(shù)列{S_n}中，第5項或者第6項最大，最大項是S₅=45或S₆=45．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為a．
由題可知，d＜0，
∵a₃a₇=-27，a₂+a₈=6，∴a₂+a₇=6，
∴a₃，a₇是方程x²-6x-27=0的兩個根，
∵d＜0，解得a₃=9，a₇=-3，
所以d=

-3-9

7-3

=-3，a₁=15，
所以a_n=-3n+18，n∈N^*．
（2）由（1）可知，S_n=15n+

n(n-1)

2

×(-3)
=-

3

2

n2+

33

2

n=-

3

2

(n-

11

2

)2+

363

8

，
所以當n=5或n=6時，S_n取得最大值，最大值為S₅=S₆=45．
故在由所有前n項和S_n組成的數(shù)列{S_n}中，
第5項或者第6項最大，最大項是S₅=45或S₆=45．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查在由所有前n項和S_n組成的數(shù)列{S_n}中，哪一項最大，最大項是多少的求法，解題時要認真審題，注意配方法的合理運用．