Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（ax²-2x）•e^x，其中a≥0．
（Ⅰ）當(dāng)a=

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時，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求f（x）的極值點；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：對f（x）求導(dǎo)得f'（x）=[ax²+2（a-1）x-2]•e^x①
（I）若a=

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時，由f′(x)=0，得2x2+x-3=0，解得x1=-

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，x2=1，
綜合①，可知

x	(-∞，- 3 2 )	- 3 2	(- 3 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，x1=-

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是極大值點，x₂=1是極小值點．（注：未注明極大、極小值扣1分）
（II）若f（x）為[-1，1]上的單調(diào)函數(shù)，又f'（0）=-2＜0，
所以當(dāng)x∈[-1，1]時f'（x）≤0，
即g（x）=ax²+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．                     
（1）當(dāng)a=0時，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；                    
（2）當(dāng)a＞0時，拋物線g（x）=ax²+2（a-1）x-2開口向上，
則f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是

g(-1)≤0 g(1)≤0

，
即

-a≤0 3a-4≤0

，所以0＜a≤

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．                     
綜合（1）（2）知a的取值范圍是0≤a≤

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．

點評：本題主要考查函數(shù)的極值的求解，以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．