Question

已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（I）求曲線在點處的切線方程；

（II）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（III）試探究當時，方程的解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得，

，

,

所以曲線在點處的切線方程為

………………………………………4分

（Ⅱ）等價于對任意，．

設，．

則

因為，所以，

所以，故在單調遞增，

因此當時，函數(shù)取得最小值；

所以，即實數(shù)的取值范圍是． ………………………………10分

（Ⅲ）設，．

當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，故函數(shù)在至多只有一個零點，

又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，

因此，函數(shù)在上有且只有一個零點．…………………………………13分