Question

7．π為圓周率，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．根據(jù)函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)性可得π³，3^π，π^e，e^π這四個數(shù)中的最大數(shù)為（　�。�

• A． e^π
• B． π^e
• C． 3^π
• D． π³

Answer 1

分析 先根據(jù)分式求導(dǎo)法則，求出函數(shù)的單調(diào)性，通過數(shù)的大小比較，可以考慮函數(shù)y=lnx，y=e^x，y=π^x的單調(diào)性即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由f（x）=$\frac{lnx}{x}$，得f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜e時，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞e時，f（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．
∵e＜3＜π，∴π^e＜π³，e^π＜3^π，
∴這4個數(shù)的最大數(shù)在π³與3^π之中，
∵f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（π）＜f（3），
∴$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{ln3}{3}$，3lnπ＜πl(wèi)n3，
∴π³＜3^π，
∴4個數(shù)中的最大數(shù)是3^π．

點(diǎn)評 1、求單調(diào)區(qū)間時，先寫出函數(shù)的定義域，為后面取區(qū)間時作參考．
2、利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小時，應(yīng)注意以下幾個要點(diǎn)：
（1）尋找同底的指數(shù)式或?qū)��?shù)式；
（2）分清是遞增還是遞減；
（3）把自變量的值放到同一個單調(diào)區(qū)間上．