Question

2．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且bcosC+（2a+c）cosB=0．
（1）求角B的度數(shù)；
（2）若b=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡整理求得cosB的值，從而求得B．
（2）由余弦定理，基本不等式可求ac≤3，進(jìn)而利用三角形面積公式，即可計(jì)算得面積的最大值．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）因?yàn)閎cosC+（2a+c）cosB=0，
由正弦定理sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，…（2分）
所以sinBcosC+sinCcosB+2sinAcosB=0，
sin（B+C）+2sinAcosB=0，2sinAcosB+sinA=0，…（4分）
因?yàn)?°＜A＜180°，
所以sinA≠0，
所以$cosB=-\frac{1}{2}$，
又0°＜B＜180°，
所以B=120°．…（6分）
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
即${3^2}={a^2}+{c^2}-2ac×（-\frac{1}{2}）={a^2}+{c^2}+ac$，…（8分）
又a²+c²+ac≥2ac+ac=3ac，
所以ac≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立，
即當(dāng)$a=c=\sqrt{3}$時，ac的最大值為3．…（12分）
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
所以S_△ABC的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，兩角和正弦函數(shù)公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．