Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明PA∥平面BDE；
（2）證明：DE⊥面PBC；
（3）求直線AB與平面PBC所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點，連結(jié)EO，易證EO為△PAC的中位線，從而OE∥PA，再利用線面平行的判斷定理即可證得PA∥平面BDE；
（2）依題意，易證DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判斷定理即可證得平面BDE⊥平面PBC；
（3）將幾何體放到正方體中，則可得直線AB與平面PBC所成角的大�。�

解答 （1）證明：連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點，連結(jié)EO，
由O，E分別為AC，CP中點，
∴OE∥PA
又OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．（5分）
（2）證明：由PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又CD⊥BC，
∴BC⊥平面PCD，DE⊥BC．（8分）
由PD=DC，E為P中點，故DE⊥PC．
∴DE⊥平面PBC（10分）
（3）解：將幾何體放到正方體中，則可得直線AB與平面PBC所成角的大小為45°．（14分）

點評 本題主要考查線與線，線與面，面與面的位置關(guān)系和線面平行和線面垂直的判定定理的靈活運用，培養(yǎng)學生形成知識網(wǎng)絡(luò)及知識間相互轉(zhuǎn)化的能力．