Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分別為BD、PD的中點，EA=EB．
（Ⅰ）證明：PB∥面AEF；
（Ⅱ）證明：AD⊥PB．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得知一角形中位線定理推導(dǎo)出EF∥PB，由此能證明PB∥面AEF．
（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，PA⊥AD，由EA=EB，E為BD的中點，推導(dǎo)出AD⊥面PAB，由此能證明AD⊥PB．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：因為E、F分別為BD、PD的中點，
所以EF∥PB…（2分）
因為EF?面AEF，PB?面AEF
所以PB∥面AEF…（5分）
（Ⅱ）證明：因為PA⊥面ABCD，
所以PA⊥AD…（7分）
因為EA=EB，所以∠ABE=∠BAE，
又因為E為BD的中點，
所以∠ADE=∠DAE，
所以2（∠BAE+∠DAE）=180°，
得∠BAE+∠DAE=90°，即BA⊥AD，…（10分）
因為PA∩AB=A，所以AD⊥面PAB，
所以AD⊥PB．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．